Chứng tỏ rằng: a) Tổng của 2 020 số lẻ bất kì luôn chia hết cho 2; b) 1111 + 2222 + 3333 + 4444 + 5555 không chia hết cho 2; c) 2 + 22 + 23 + … + 259 + 260 + 561 chia hết cho 5.

a) Tổng của hai số lẻ bất kì là một số chẵn nên tổng của 2020 số lẻ bất kì là một số chẵn nên chia hết cho 2. b) Ta có 11 là số lẻ nên 1111 là số lẻ; 33 là số lẻ nên $\displaystyle 33^{33}$ là số lẻ; 55 là số lẻ nên$\displaystyle \ 55^{55} \ $là số lẻ; Khi đó: $\displaystyle 11^{11} \ +\ 33^{33} \ +\ 55^{55}$ là số lẻ. Mặt khác $\displaystyle 22^{22} ;\ 44^{44}$ là các số chẵn nên $\displaystyle 22^{22} \ +\ 44^{44}$ là số chẵn. Vậy $\displaystyle 11^{11} \ +\ 22^{22} \ +\ 33^{33} \ +\ 44^{44} \ +\ 55^{55}$ là số lẻ nên không chia hết cho 2. $\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} c) \ Xét\ 2\ +\ 2^{2} \ +\ 2^{3} +\dotsc +2^{59} \ +\ 2^{60}\\ =\left( 2\ +\ 2^{2} \ +\ 2^{3} \ +\ 2^{4}\right) +\left( 2^{5} \ +\ 2^{6} \ +\ 2^{7} \ +\ 2^{8}\right) +\dotsc +\left( 2^{57} \ +\ 2^{58} \ +\ 2^{59} \ +\ 2^{60}\right)\\ =2\left( 1\ +\ 2\ +\ 2^{2} \ +\ 2^{3}\right) +2^{5} .\left( 1\ +\ 2\ +\ 2^{2} \ +\ 2^{3}\right) +\dotsc +2^{57} .\left( 1\ +\ 2\ +\ 2^{2} \ +\ 2^{3}\right)\\ =2.15\ +\ 2^{5} .15\ +\ \dotsc \ +\ 2^{57} .15\\ =15.\left( 2\ +\ 2^{5} \ +\ \dotsc \ +\ 2^{57}\right) \end{array}$ Vì 155 nên $\displaystyle 15.\left( 2\ +\ 2^{5} \ +\ \dotsc \ +\ 2^{57}\right) 5$ mà $\displaystyle 5^{61}$ cũng chia hết cho 5. Nên$\displaystyle \ 2\ +\ 2^{2} \ +\ 2^{3} \ +\ \dotsc \ +\ 2^{59} \ +\ 2^{60} \ +\ 5^{61}$ chia hết cho 5.