Cho đường tròn (O;R) có đường kính BC, lấy điểm A thuộc (O) sao cho AB=R a. Chứng minh tam giác ABC vuông và tính độ dài BC theo R. b. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại M. Trên (O) lấy...

a. Chứng minh tam giác ABC vuông và tính độ dài BC theo R. - Ta có OA = OB = R (vì A, B là hai điểm trên đường tròn tâm O), AB = R (theo giả thiết) nên tam giác OAB là tam giác đều. Do đó, góc AOB = 60 độ. - Vì BC là đường kính của đường tròn nên góc ACB = 90 độ (theo định lý góc tại đỉnh hợp bởi hai dây của đường tròn). - Vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại A. - Độ dài BC = 2R (vì BC là đường kính của đường tròn). b. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại M. Trên (O) lấy điểm D sao cho MD=MA (D khác A). Chứng minh MD là tiếp tuyến của (O). - Vì AM là tiếp tuyến của (O) tại A nên góc BAM = 90 độ (tiếp tuyến tại một điểm của đường tròn tạo với dây đi qua điểm đó một góc 90 độ). - Vì MD = MA và AD là dây của (O) nên góc MAD = góc DAM = 45 độ. - Do đó, góc MDA = 180 - 45 - 90 = 45 độ. - Vì góc MDA = góc DAM nên tam giác AMD là tam giác cân tại D, suy ra góc AMD = 90 độ. - Vậy MD là tiếp tuyến của (O) tại D. c. Vẽ đường kính AK của (O), MK cắt (O) tại E (E khác K). Gọi H là giao điểm của AD và MO. Chứng minh ME.MK=MH.MO - Ta có góc MAK = 90 độ (vì AK là đường kính). - Do đó, góc AMK = góc MAK = 90 độ, suy ra tam giác AMK là tam giác vuông cân tại M. - Vì vậy, ME = MK. - Ta cũng có góc MAD = góc MOH = 45 độ và góc DAM = góc HOM = 45 độ nên tam giác MAD ~ tam giác MOH (theo định lý tam giác đồng dạng). - Suy ra MH/MO = AD/AO = R/(2R) = 1/2, tức là MH = MO/2. - Vậy ME.MK = MH.MO. d. Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác MEH theo R. - Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác MEH. - Ta có góc MIE = 90 độ (vì I là trung điểm của cung ME không chứa H). - Do đó, tam giác MIE là tam giác vuông tại I. - Vì vậy, bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác MEH là IM = ME/2 = MK/2 = R/2. - Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác MEH là trung điểm của đoạn thẳng MH.