Cho phương trình x^2-3x-m^2+1=0.tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 phân biệt thỏa mãn |x1|+2|x2|=3

Question

hongbich · Accepted Answer

$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
x^{2} -3x-m^{2} +1=0\
\Delta \ =\ 3^{2} -4\left( -m^{2} +1ight)\
\Delta \ =\ 9+4m^{2} -4\ =\ 5+4m^{2} \geqslant 0\ \forall \ m
\end{array}$

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt 

Xét $\displaystyle |x_{1} |+2|x_{2} |=3$

$\displaystyle \Longrightarrow \ \begin{cases}
x_{1} +x_{2} =\frac{-b}{a} =3\ ( 1) & \
x_{1} .x_{2} =\ \frac{c}{a} \ =\ -m^{2} +1\ ( 2) & 
\end{cases} \ $

Có: $\displaystyle |x_{1} |+2|x_{2} |=3$

$\displaystyle \Longrightarrow \ \begin{cases}
x_{1} +2x_{2} =3 & ( loại)\
x_{1} -2x_{2} =3 & ( loại)\
x_{1} -2x_{2} =-3 & ( TM)\
x_{1} +2x_{2} =-3 & ( TM)
\end{cases}$

Hai kết quả kia loại vì có 1 trong hai nghiệm x bằng 0

Xét $\displaystyle x_{1} -2x_{2} =-3$ và $\displaystyle x_{1} +x_{2} =3$

Suy ra $\displaystyle x_{1} =1;x_{2} =2$

Thay vào (2) ta được :

$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
-m^{2} +1=2\
\Longrightarrow \ loại
\end{array}$

Xét $\displaystyle x_{1} +2x_{2} =-3$ và $\displaystyle x_{1} +x_{2} =3$

Suy ra $\displaystyle x_{1} =9\ ;\ x_{2} =-6$

Thay vào 2 ta được :

$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
-m^{2} +1=-54\
\Longrightarrow \ m^{2} =55\
m=\pm \sqrt{55}
\end{array}$

Timi · Answer

1. Loại bài toán và ý tưởng chính: Đây là bài toán tìm tham số trong phương trình bậc hai. Ý tưởng chính để giải quyết bài toán này là sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, sau đó áp dụng điều kiện cho hai nghiệm của phương trình.

Các bước giải quyết vấn đề:

Bước 1: Xác định nghiệm của phương trình bậc hai. Trong trường hợp này, ta có $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4m^2 - 4}}{2}$.

Bước 2: Áp dụng điều kiện $|x_1| + 2|x_2| = 3$ cho hai nghiệm của phương trình.

Bước 3: Giải hệ phương trình để tìm giá trị của m.

2. Giải quyết vấn đề từng bước:

Bước 1: Từ phương trình $x^2 - 3x - m^2 + 1 = 0$, ta có nghiệm $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4m^2 - 4}}{2}$.

Bước 2: Áp dụng điều kiện $|x_1| + 2|x_2| = 3$ cho hai nghiệm của phương trình, ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: $x_1 \geq 0$ và $x_2 \geq 0$. Khi đó, ta có $x_1 + 2x_2 = 3$.

Trường hợp 2: $x_1 < 0$ và $x_2 < 0$. Khi đó, ta có $-x_1 - 2x_2 = 3$.

Bước 3: Giải hệ phương trình trong từng trường hợp để tìm giá trị của m. Lưu ý rằng, ta cần kiểm tra lại điều kiện $x_1, x_2 \geq 0$ hoặc $x_1, x_2 < 0$ sau khi tìm được giá trị của m.