.............

Đầu tiên, chúng ta cần xác định loại bài toán này. Đây là một bài toán về hình học phẳng, sử dụng các khái niệm về tam giác, đường song song, góc và phân giác. Ý tưởng chính để giải quyết bài toán này là sử dụng các tính chất của phân giác trong tam giác và các tính chất của đường song song. Cụ thể, các bước logic để giải quyết bài toán này như sau: 1. Sử dụng tính chất của phân giác trong tam giác để chứng minh $\widehat{MBC}=\widehat{BMN}$. 2. Sử dụng tính chất của đường song song để chứng minh $BM//NP$. 3. Sử dụng lại tính chất của phân giác và đường song song để chứng minh $NQ\bot BM$. Bây giờ, chúng ta sẽ giải quyết bài toán theo từng bước: a) Chúng ta cần chứng minh $\widehat{MBC}=\widehat{BMN}$ và $BM//NP$. - Theo định lý về phân giác trong tam giác, ta có $\frac{AB}{AC}=\frac{MB}{MC}$. - Do MN // AB nên theo định lý về góc tương ứng, ta có $\widehat{MBC}=\widehat{BMN}$. - Vì P là trung điểm của $\widehat{MNC}$ nên $\widehat{MNP}=\widehat{PNC}$. - Do đó, $BM//NP$. b) Chúng ta cần chứng minh $NQ\bot BM$. - Theo định lý về phân giác trong tam giác, ta có $\frac{BN}{NM}=\frac{BQ}{QM}$. - Do đó, $NQ$ là đường cao của tam giác $BMQ$. - Vậy nên, $NQ\bot BM$.