giúp mình toàn bộ luôn ạ giải ngắn gọn ạ

Đây là một loạt các bài toán về giới hạn, chuỗi, số thập phân vô hạn tuần hoàn, giới hạn một bên, tính liên tục của hàm số và tìm tập xác định của hàm số. Để giải quyết những vấn đề này, chúng ta cần áp dụng các kiến thức về giới hạn, chuỗi, hàm số và phép toán trên số thực. 1. Bài 5.25: Dãy số $(u_n)$ có tính chất $|u_n-1|< \frac2n.$ Đầu tiên, chúng ta nhận ra rằng $-\frac{2}{n}< u_n-1< \frac{2}{n}$. Khi $n$ tiến tới vô cùng, $\frac{2}{n}$ tiến tới 0. Do đó, $u_n$ tiến tới 1. 2. Bài 5.26: Tìm giới hạn của các dãy số. a) $u_n=\frac{n^2}{3n^2+7n-2}$ Khi $n$ tiến tới vô cùng, ta có $\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^2}{3n^2+7n-2}=\frac{1}{3}$. b) $V_n=\sum^n_{k=0}\frac{3^k+5^k}{6^k}$ Đây là một chuỗi hữu hạn, nên giới hạn của nó chính là tổng của chuỗi. c) $W_n=\frac{\sin n}{4n}$ Khi $n$ tiến tới vô cùng, ta có $\lim_{n\rightarrow\infty}W_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin n}{4n}=0$. 3. Bài 5.27: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số. a) 1,(01) Số này có thể được viết dưới dạng phân số là $\frac{101}{99}$. b) 5,(132) Số này có thể được viết dưới dạng phân số là $\frac{5132}{999}$. 4. Bài 5.28: Tính các giới hạn sau: a) $\lim_{x\rightarrow7}\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}$ Áp dụng quy tắc l'Hopital, ta có $\lim_{x\rightarrow7}\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}=\lim_{x\rightarrow7}\frac{1/(2\sqrt{x+2})}{1}=1/(2\sqrt{9})=1/6$. b) $\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^3-1}{x^2-1}$ Áp dụng quy tắc l'Hopital, ta có $\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^3-1}{x^2-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{3x^2}{2x}=3/2$. c) $\lim_{x\rightarrow1}\frac{2-x}{(1-x)^2}$ Áp dụng quy tắc l'Hopital, ta có $\lim_{x\rightarrow1}\frac{2-x}{(1-x)^2}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{-1}{-2(1-x)}=1/2$. d) $\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x+2}{\sqrt{4x^2+1}}$ Khi $x$ tiến tới $-\infty$, ta có $\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x+2}{\sqrt{4x^2+1}}=-\infty$. 5. Bài 5.29: Tính các giới hạn một bên: a) $\lim_{x\rightarrow3^+}\frac{x^2-9}{|x-3|}$ Khi $x$ tiến tới 3 từ phía bên phải, ta có $\lim_{x\rightarrow3^+}\frac{x^2-9}{|x-3|}=\lim_{x\rightarrow3^+}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=6$. b) $\lim_{x\rightarrow1^-}\frac x{\sqrt{1-x}}$ Khi $x$ tiến tới 1 từ phía bên trái, ta có $\lim_{x\rightarrow1^-}\frac x{\sqrt{1-x}}=\infty$. 6. Bài 5.30: Chứng minh rằng giới hạn $\lim_{x\rightarrow0}\frac{|x|}x$ không tồn tại. Khi $x$ tiến tới 0 từ phía bên phải, ta có $\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{|x|}x=1$. Tuy nhiên, khi $x$ tiến tới 0 từ phía bên trái, ta có $\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{|x|}x=-1$. Do đó, giới hạn $\lim_{x\rightarrow0}\frac{|x|}x$ không tồn tại. 7. Bài 5.31: Giải thích tại sao các hàm số sau đây gián đoạn tại điểm đã cho. a) $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac1x&nếu~x\ne0\\1&nếu~x=0\end{array}\right.$ tại điểm $x=0;$ Hàm số này gián đoạn tại $x=0$ vì giá trị của hàm số tại $x=0$ không bằng giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới 0. b) $g(x)=\left\{\begin{array}l1+x~nếu~x<1\\2-x~nếu~x\geq1\end{array}\right.$ tại điểm $x=1.$ Hàm số này gián đoạn tại $x=1$ vì giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới 1 từ phía bên trái không bằng giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới 1 từ phía bên phải. 8. Bài 5.32: Lực hấp dẫn tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm Trái Đất là F(r) = $\left\{\begin{array}{l}\frac{GMr}{R^3}\;nếu\;r\;<\;R\\\frac{GM}{r^2}\;nếu\;r\geq\;R,\end{array}\right.$ Hàm số này liên tục trên $\mathbb{R}$ ngoại trừ tại điểm $r=R$. 9. Bài 5.33: Tìm tập xác định của các hàm số sau và giải thích tại sao các hàm này liên tục trên các khoảng xác định của chúng. a) $f(x)=\frac{\cos\left(x\right)}{x^2+\;5x+6}$ Tập xác định của hàm số này là $\mathbb{R}$. Hàm số này liên tục trên $\mathbb{R}$ vì tử số và mẫu số đều liên tục trên $\mathbb{R}$ và mẫu số không bao giờ bằng 0. b) $g(x)=\frac{x-2}{\sin\left(x\right)}$ Tập xác định của hàm số này là $\mathbb{R}$ ngoại trừ các điểm $x=k\pi$, với $k$ là số nguyên. Hàm số này liên tục trên các khoảng xác định của nó vì tử số và mẫu số đều liên tục trên các khoảng đó và mẫu số không bao giờ bằng 0. 10. Bài 5.34: Tìm các giá trị của a để hàm số $f(x)= \left\{\begin{array}{l}x+1\;nếu\;x\;\leq\;a\\x^2\;nếu\;x\;>\;a\end{array}\right.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ Hàm số này liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $a+1=a^2$. Giải phương trình này, ta được $a=2$ hoặc $a=-1/2$.