cho biểu thức A=2x^2 +2y^2-2xy -2x+2y+2 .Tìm giá trị nhỏ nhất của A

1. Loại bài toán và ý tưởng chính: Đây là một bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đa thức bậc hai. Ý tưởng chính để giải quyết bài toán này là sử dụng phương pháp hoàn thành hình vuông, tức là biến đổi biểu thức ban đầu thành dạng $(x-a)^2+(y-b)^2+c$ với $a$, $b$, $c$ là các hằng số. Lý do chúng ta sử dụng phương pháp này là vì nó cho phép chúng ta tìm ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức một cách dễ dàng. 2. Giải bài toán từng bước: Bước 1: Viết lại biểu thức $A$ theo dạng hoàn thành hình vuông. \[ A = 2x^2 - 2xy + 2y^2 - 2x + 2y + 2 = 2(x^2 - xy + y^2) - 2(x - y) + 2 = 2[(x - \frac{1}{2}y)^2 + \frac{3}{4}y^2] - 2(x - y) + 2 = 2[(x - \frac{1}{2}y)^2 + (\frac{\sqrt{3}y}{2})^2] - 2(x - y) + 2 \] Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Vì $(x - \frac{1}{2}y)^2$ và $(\frac{\sqrt{3}y}{2})^2$ luôn không âm, nên giá trị nhỏ nhất của $A$ xảy ra khi $(x - \frac{1}{2}y)^2 = (\frac{\sqrt{3}y}{2})^2 = 0$. Điều này dẫn đến $x = \frac{1}{2}y$ và $y = 0$, từ đó suy ra $x = 0$. Thay $x = 0$ và $y = 0$ vào biểu thức $A$, ta được: \[ A_{min} = 2[(0 - \frac{1}{2}*0)^2 + (\frac{\sqrt{3}*0}{2})^2] - 2(0 - 0) + 2 = 2 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$ là 2.