Cho hình vuông ABCD điểm E thuộc BC , F là giao điểm của AE và CD . G là giao điểm của DE và BF. Gọi I,K theo thứ thự là giao điểm của AB với CG và DG . chứng minh IE//BD . chứng minh AE vuông góc CG V...

Người Chơi Hệ BáoĐể chứng minh IE // BD, ta sẽ sử dụng hai định lí chính: Định lí Thales và Định lí Euclid.

Đầu tiên, vẽ hình vuông ABCD như yêu cầu:

    A

    / \

   /  \

   /   \

  /    \

  /     \

 B-----------C

 |      |

 |      |

 |      |

 |      |

 |      |

 |      |

 |      |

 D-----------E

       |

       |

       |

       F

       |

       |

       |

       G

Giả sử IE không song song với BD. Khi đó, các đường thẳng IE và BD sẽ giao nhau tại một điểm X.

Theo Định lí Thales, nếu một cặp đường thẳng song song cắt qua các cạnh của một tam giác, thì tỷ lệ của độ dài các phần được chia đều nhau.

Áp dụng Định lí Thales cho tam giác IBE và tam giác CDE, ta có:

IE/EC = IB/CD

Tương tự, áp dụng Định lí Thales cho tam giác XBD và tam giác CDE, ta có:

XD/DC = XB/CD

Vì IE // BD (giả sử), nên IE/EC = XD/DC. Từ đó suy ra: IB/CD = XB/CD.

Loại bỏ CD khỏi phương trình, ta được: IB = XB.

Điều này có nghĩa là I và X là cùng một điểm trên đường thẳng AB. Nhưng chúng ta đã giả sử rằng X là điểm giao của IE và BD, không phải là điểm I. Do đó, giả sử ban đầu là sai.

Vì vậy, ta kết luận rằng IE phải là song song với BD.

Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh AE vuông góc với CG.

Giả sử AE không vuông góc với CG. Khi đó, AE và CG sẽ giao nhau tại một điểm Y không nằm trên AB. Điểm Y này cũng sẽ nằm trên đường thẳng BF (vì F là điểm nằm trên CD và AE).

Xét tam giác AYF. Theo Định lí Euclid, nếu một đường thẳng song song với một cạnh của một tam giác cắt qua hai cạnh còn lại, thì tỷ lệ của các đoạn thẳng tạo bởi đường thẳng này trên hai cạnh còn lại sẽ bằng nhau.

Áp dụng Định lí Euclid cho đường thẳng BF song song với AE và cắt qua cạnh AY và AF, ta có:

AY/YF = AB/BE

Vì BF cắt qua cạnh CD, nên ta cũng có:

AY/YF = AD/DF

Từ hai phương trình trên, ta suy ra: AB/BE = AD/DF.

Loại bỏ BE và DF khỏi phương trình, ta được: AB/AD = BE/DF.

Nhưng chúng ta đã biết rằng AB = AD (vì ABCD là hình vuông). Do đó, ta có: 1 = BE/DF.

Tuy nhiên, nếu BE = DF, thì điểm F sẽ trùng với điểm E, điều này là không thể xảy ra.

Vì vậy, giả sử ban đầu là sai và ta kết luận rằng AE phải vuông góc với CG.

Vậy, ta đã chứng minh IE // BD và AE vuông góc CG.