giúp e làm câu này với ạ

Đầu tiên, chúng ta cần xác định loại bài toán này. Đây là một bài toán tích phân trong lĩnh vực giải tích, và chúng ta cần tìm giá trị của phép tích phân $\int\sqrt{\frac x{x-1}}dx.$ Để giải quyết vấn đề này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thay thế biến. Ý tưởng chính ở đây là chọn một thay thế phù hợp để đơn giản hóa biểu thức trong phép tích phân, từ đó giúp việc tính toán trở nên dễ dàng hơn. Bước 1: Thay thế biến Chúng ta chọn $t = \sqrt{\frac x{x-1}}$, do đó $t^2 = \frac x{x-1}$ và $x = \frac{t^2}{t^2 + 1}$. Khi đạo hàm theo $t$, ta được $dx = \frac{2t}{(t^2+1)^2}dt$. Bước 2: Thay thế biến vào phép tích phân Thay thế $x$ và $dx$ vào phép tích phân ban đầu, ta được: $\int\sqrt{\frac x{x-1}}dx = \int t \cdot \frac{2t}{(t^2+1)^2}dt = 2\int \frac{t^2}{(t^2+1)^2}dt.$ Bước 3: Tính phép tích phân Để tính phép tích phân này, chúng ta sử dụng phương pháp phân số đơn giản. Đặt $u = t^2 + 1$, ta được $du = 2tdt$ và phép tích phân trở thành: $2\int \frac{t^2}{(t^2+1)^2}dt = 2\int \frac{1}{u^2}du = -2\int u^{-2}du = 2u^{-1} + C = \frac{2}{t^2 + 1} + C.$ Bước 4: Thay $t$ bằng biểu thức ban đầu Cuối cùng, chúng ta thay $t$ bằng biểu thức ban đầu để có kết quả cuối cùng: $\frac{2}{t^2 + 1} + C = \frac{2}{(\sqrt{\frac x{x-1}})^2 + 1} + C = \frac{2}{\frac x{x-1} + 1} + C = \frac{2}{x} + C.$ Vậy, $\int\sqrt{\frac x{x-1}}dx = \frac{2}{x} + C.$