Cho tam giác ABC đều cạnh a trên BC lấy điểm D sao cho BD 2DC Trung trực đoạn AD cắt AC tại E Tính CE và BE.

Vì $\displaystyle BD=2CD\Rightarrow BD=\frac{2}{3} BC=\frac{2a}{3} ;\ CD=\frac{1}{3} CB=\frac{a}{3}$
Gọi H là trung điểm BC 
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow BH=CH=\frac{1}{2} BC=\frac{a}{2}\\
\Rightarrow HD=CH-CD=\frac{a}{2} -\frac{a}{3} =\frac{a}{6}
\end{array}$
Xét $\displaystyle \vartriangle $ABH vuông tại H có:
$\displaystyle AB^{2} =BH^{2} +AH^{2}$(định lý Pytago)
$\displaystyle \Rightarrow AH^{2} =AB^{2} -BH^{2} =a^{2} -\left(\frac{a}{2}\right)^{2} =\frac{3a^{2}}{4} \Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Xét $\displaystyle \vartriangle $AHD vuông tại H có:
$\displaystyle AD^{2} =AH^{2} +HD^{2}$(định lý Pytago)
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow AD=\sqrt{AH^{2} +HD^{2}} =\sqrt{\frac{3a^{2}}{4} +\left(\frac{a}{6}\right)^{2}} =\frac{a\sqrt{7}}{3}\\
\Rightarrow \sin\widehat{HAD} =\frac{HD}{AD} =\frac{\frac{a}{6}}{\frac{a\sqrt{7}}{3}} =\frac{\sqrt{7}}{14}\\
\Rightarrow \widehat{HAD} =11^{o}\\
\Rightarrow \widehat{DAE} =30^{o} -11^{o} =19^{o}
\end{array}$
Gọi K là trung điểm AD
Xét$\displaystyle \vartriangle $AKE vuông tại K có 
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\cos\widehat{KAE} =\frac{AK}{AE}\\
\Rightarrow AE=\frac{AK}{\cos\widehat{KAE}} =\frac{1}{2} AD.\frac{1}{\cos 19^{o}} =\frac{1}{2} .\frac{a\sqrt{7}}{3} .\frac{1}{\cos 19^{o}} \approx 0,47a\\
\Rightarrow CE=a-0,47a=0,53a
\end{array}$