1 người nông dân có 1 khu đây rộng dọc theo 1 con sông. người đó muốn làm cái hàng rào hình chữ E ( như hình vẽ) để dược 1 khu đất gồm 2 phần đất hình chữ nhật để tròng rau và nuôi gà. Đôi với mặt hàng rào song song với mặt bờ sông thì chi phí nguyên liệu là 80 ngàn đồng 1 mét dài, đối với phần còn lại thì chi phí nguyên liệu là 40 ngàn đồng 1 mét dài. tính diện tích lớn nhất ( xấp xỉ) của phần đất mà người nông dân rào được với chi phí vật liệu 20 triệu đồng

Question

1 người nông dân có 1 khu đây rộng dọc theo 1 con sông. người đó muốn làm cái hàng rào hình chữ E
( như hình vẽ) để dược 1 khu đất gồm 2 phần đất hình chữ nhật để tròng rau và nuôi gà. Đôi với mặt hàng rào song song với mặt bờ sông thì chi phí nguyên liệu là 80 ngàn đồng 1 mét dài, đối với phần còn lại thì chi phí nguyên liệu là 40 ngàn đồng 1 mét dài. tính diện tích lớn nhất ( xấp xỉ) của phần đất mà người nông dân rào được với chi phí vật liệu 20 triệu đồng <img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/6f8f16d23bbc4db4b8a584365b713f25.jpg />

boydeptrai · Accepted Answer

x là số mét dài $\displaystyle 0< x\leqslant 250$
y là số mét ngang $\displaystyle 0< y\leqslant 500$
Số tiền xây rào:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
80000.x+40000.3y\leqslant 20000000\
\Longrightarrow x\leqslant \frac{20000000-120000y}{80000} \leqslant 250-1,5y
\end{array}$
Diện tích khu đất là
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
S=x.y\leqslant 250y-1,5y^{2}\
Xét\ 250y-1,5y^{2} =-\left[\left(\frac{\sqrt{6}}{2} y-\frac{250}{\sqrt{6}} ight)^{2} -\frac{31250}{3} ight] \leqslant \frac{31250}{3}\
\Longrightarrow S\leqslant \frac{31250}{3}\left( m^{2} ight)\
\end{array}$

Timi · Answer

Bài toán này thuộc loại bài toán tối ưu hóa. Chúng ta cần tìm diện tích lớn nhất của phần đất mà người nông dân có thể rào được với chi phí vật liệu là 20 triệu đồng.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định các kích thước của hai hình chữ nhật để tối ưu hóa diện tích. Đặt chiều rộng của hình chữ nhật lớn là x và chiều rộng của hình chữ nhật nhỏ là y.

Bước 1: Xác định biểu thức diện tích cần tối ưu hóa.
Diện tích cần tối ưu hóa là tổng diện tích hai hình chữ nhật:
$$A = xy + (100 - 2x)y$$

Bước 2: Xác định hàm mục tiêu.
Hàm mục tiêu là hàm diện tích cần tối ưu hóa:
$$f(x, y) = xy + (100 - 2x)y$$

Bước 3: Xác định miền xác định.
Miền xác định cho x và y là:
$$0 \leq x \leq 50$$
$$0 \leq y \leq 100$$

Bước 4: Tìm điểm cực trị bằng cách tìm đạo hàm riêng của hàm mục tiêu.
Đạo hàm riêng theo x:
$$\frac{\partial f}{\partial x} = y - 2y = -y$$

Đạo hàm riêng theo y:
$$\frac{\partial f}{\partial y} = x + (100 - 2x) = -2x + 100$$

Bước 5: Giải hệ phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị.
Đối với $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$, ta có:
$$-y = 0 \Rightarrow y = 0$$

Đối với $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$, ta có:
$$-2x + 100 = 0 \Rightarrow x = 50$$

Bước 6: Kiểm tra điểm cực trị.
Để kiểm tra xem điểm cực trị tìm được là điểm cực tiểu hay cực đại, ta sử dụng đạo hàm riêng thứ hai.

Đạo hàm riêng thứ hai theo x:
$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -1$$

Đạo hàm riêng thứ hai theo y:
$$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$$

Vì $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} < 0$ và $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$, điểm cực trị (50, 0) là điểm cực đại.

Bước 7: Tính diện tích lớn nhất.
Để tính diện tích lớn nhất, ta thay x = 50 và y = 0 vào biểu thức diện tích:
$$A = xy + (100 - 2x)y = 50 \times 0 + (100 - 2 \times 50) \times 0 = 0$$

Vậy, diện tích lớn nhất mà người nông dân có thể rào được với chi phí vật liệu là 20 triệu đồng là 0 mét vuông.

1 người nông dân có 1 khu đây rộng dọc theo 1 con sông. người đó muốn làm cái hàng rào hình chữ E ( như hình vẽ) để dược 1 khu đất gồm 2 phần đất hình chữ nhật để tròng rau và nuôi gà. Đôi với mặt hàng...