tìm giới hạn

Bài toán này là một bài toán về giới hạn. Chúng ta cần tìm giới hạn của biểu thức $\frac{\sqrt{x+1}-2}{\sqrt[3]{9x}-x}$ khi $x$ tiến đến 3. Bước 1: Đặt $f(x) = \frac{\sqrt{x+1}-2}{\sqrt[3]{9x}-x}$. Bước 2: Để tìm giới hạn của $f(x)$ khi $x$ tiến đến 3, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp nhân tử và chia tử bằng $x-3$. Bước 3: Nhân tử và chia tử bằng $x-3$, ta có: $f(x) = \frac{\sqrt{x+1}-2}{\sqrt[3]{9x}-x} \cdot \frac{\sqrt{x+1}+2}{\sqrt{x+1}+2} \cdot \frac{\sqrt[3]{9x^2}+3x+\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{9x^2}+3x+\sqrt[3]{9}}$ $= \frac{(x+1)-4}{(9x-x^3)+3x(\sqrt{x+1}+2)+\sqrt[3]{9}(\sqrt{x+1}+2)}$ $= \frac{x-3}{-x^3+12x+3x\sqrt{x+1}+6\sqrt{x+1}+\sqrt[3]{9}\sqrt{x+1}+2\sqrt[3]{9}}$ Bước 4: Tiếp theo, chúng ta sẽ thực hiện phép đơn giản hóa biểu thức. Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng công thức khai triển nhân tử của $a^3-b^3$: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ Áp dụng công thức này vào biểu thức $-x^3+12x$, ta có: $-x^3+12x = -(x-3)(x^2+3x+9)$ Bước 5: Thay thế biểu thức $-x^3+12x$ trong phân số bằng $(x-3)(x^2+3x+9)$, ta có: $f(x) = \frac{x-3}{(x-3)(x^2+3x+9)+3x\sqrt{x+1}+6\sqrt{x+1}+\sqrt[3]{9}\sqrt{x+1}+2\sqrt[3]{9}}$ $= \frac{1}{x^2+3x+9+3x\sqrt{x+1}+6\sqrt{x+1}+\sqrt[3]{9}\sqrt{x+1}+2\sqrt[3]{9}}$ Bước 6: Khi $x$ tiến đến 3, ta thấy rằng các thành phần $\sqrt{x+1}$ và $\sqrt[3]{9}$ cũng tiến đến 2. Do đó, ta có thể thay thế chúng bằng giá trị gần đúng của chúng khi $x$ tiến đến 3. Ta được: $f(x) = \frac{1}{3^2+3\cdot3+9+3\cdot3\cdot2+6\cdot2+2\cdot2}$ $= \frac{1}{3+9+18+12+12+4}$ $= \frac{1}{58}$ Vậy, giới hạn của biểu thức $\frac{\sqrt{x+1}-2}{\sqrt[3]{9x}-x}$ khi $x$ tiến đến 3 là $\frac{1}{58}$.