20/12/2023
20/12/2023
Câu 7:
a) Gọi d là ƯCLN của n+3 và n+4 (d
Khi đó ta có:
Hay 1
⟹ d = 1
Vậy n+ 3 và n+ 4 là 2 số nguyên tố cùng nhau
b) Gọi d là ƯCLN của 2n+5 và 3n+7 (d
Khi đó ta có:
⟹
Hay 1
⟹ d = 1
Vậy 2n+5 và 3n+7 là 2 số nguyên tố cùng nhau
c) Gọi d là ƯCLN của n+8 và n+7 (d
Khi đó ta có:
Hay 1
⟹ d = 1
Vậy n+8 và n+7 là 2 số nguyên tố cùng nhau
d) Gọi d là ƯCLN của 2n+1 và 14n+6 (d
Khi đó ta có:
⟹
Hay 1
⟹ d = 1
Vậy 2n+1 và 14n+6 là 2 số nguyên tố cùng nhau
20/12/2023
1. Đây là bài toán về sự liên hệ giữa hai số nguyên tố cùng nhau. Để chứng minh rằng hai số nằm trong mỗi cặp đều là hai số nguyên tố cùng nhau, ta cần sử dụng định lý Euclid về ước số chung lớn nhất (GCD) và các tính chất của số nguyên tố.
2. a) Ta cần chứng minh rằng n + 8 và n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau.
- Đầu tiên, ta giả sử rằng n + 8 và n + 7 không phải là hai số nguyên tố cùng nhau. Điều này có nghĩa là tồn tại một số nguyên d > 1 sao cho d là ước chung của cả n + 8 và n + 7.
- Khi đó, ta có thể viết được: n + 8 = ad và n + 7 = bd, với a, b là các số nguyên dương.
- Từ đó, suy ra n = ad - 8 và n = bd - 7.
- Vì n = n, ta có ad - 8 = bd - 7.
- Từ đó, suy ra ad - bd = 1.
- Theo định lý Euclid, nếu một số nguyên d chia hết cho a và b, thì nó cũng chia hết cho hiệu của a và b. Do đó, d chia hết cho 1, tức là d = 1.
- Như vậy, ta có ad - bd = 1, hay (a - b)d = 1. Vì d = 1, nên a - b = 1.
- Tuy nhiên, điều này không thể xảy ra với mọi số nguyên dương a và b. Vì vậy, giả định ban đầu là sai.
- Do đó, ta kết luận rằng n + 8 và n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau.
b) Ta cần chứng minh rằng n + 3 và n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau.
- Tương tự như trường hợp trên, giả sử rằng n + 3 và n + 4 không phải là hai số nguyên tố cùng nhau. Điều này có nghĩa là tồn tại một số nguyên d > 1 sao cho d là ước chung của cả n + 3 và n + 4.
- Khi đó, ta có thể viết được: n + 3 = ad và n + 4 = bd, với a, b là các số nguyên dương.
- Từ đó, suy ra n = ad - 3 và n = bd - 4.
- Vì n = n, ta có ad - 3 = bd - 4.
- Từ đó, suy ra ad - bd = 1.
- Theo định lý Euclid, nếu một số nguyên d chia hết cho a và b, thì nó cũng chia hết cho hiệu của a và b. Do đó, d chia hết cho 1, tức là d = 1.
- Như vậy, ta có ad - bd = 1, hay (a - b)d = 1. Vì d = 1, nên a - b = 1.
- Tuy nhiên, điều này không thể xảy ra với mọi số nguyên dương a và b. Vì vậy, giả định ban đầu là sai.
- Do đó, ta kết luận rằng n + 3 và n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau.
c) Ta cần chứng minh rằng 2n + 1 và 14n + 6 là hai số nguyên tố cùng nhau.
- Giả sử rằng 2n + 1 và 14n + 6 không phải là hai số nguyên tố cùng nhau. Điều này có nghĩa là tồn tại một số nguyên d > 1 sao cho d là ước chung của cả 2n + 1 và 14n + 6.
- Khi đó, ta có thể viết được: 2n + 1 = ad và 14n + 6 = bd, với a, b là các số nguyên dương.
- Từ đó, suy ra 2n = ad - 1 và 14n = bd - 6.
- Vì 2n = 7(ad - 1), ta có 7 là ước chung của 2n. Nhưng 7 không phải là ước chung của 14n. Điều này mâu thuẫn với giả định ban đầu.
- Do đó, ta kết luận rằng 2n + 1 và 14n + 6 là hai số nguyên tố cùng nhau.
d) Ta cần chứng minh rằng 2n + 5 và 3n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau.
- Giả sử rằng 2n + 5 và 3n + 7 không phải là hai số nguyên tố cùng nhau. Điều này có nghĩa là tồn tại một số nguyên d > 1 sao cho d là ước chung của cả 2n + 5 và 3n + 7.
- Khi đó, ta có thể viết được: 2n + 5 = ad và 3n + 7 = bd, với a, b là các số nguyên dương.
- Từ đó, suy ra 2n = ad - 5 và 3n = bd - 7.
- Vì 2n = 3(ad - 5), ta có 3 là ước chung của 2n. Nhưng 3 không phải là ước chung của 3n. Điều này mâu thuẫn với giả định ban đầu.
- Do đó, ta kết luận rằng 2n + 5 và 3n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Nếu bạn muốn hỏi bài tập
Các câu hỏi của bạn luôn được giải đáp dưới 10 phút
CÂU HỎI LIÊN QUAN
7 giờ trước
7 giờ trước
Top thành viên trả lời