Trên mp tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2,trên (P) lấy 2 điểm A(-1,1) và B(3,9).

a/ Tính diện tích tam giác OAB

b/ Xác định điểm C thuộc cung nhỏ AB của (P) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất

Question

Trên mp tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2,trên (P) lấy 2 điểm A(-1,1) và B(3,9).

a/ Tính diện tích tam giác OAB

b/ Xác định điểm C thuộc cung nhỏ AB của (P) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất

Winner · Accepted Answer

a)
Gọi $\displaystyle y=ax+b$ là phương trình đường thẳng AB
Ta có: $\displaystyle \begin{cases}
a( -1) +b=1 & \
3a=b=9 &
\end{cases} \Longrightarrow \begin{cases}
a=2 & \
b=3 &
\end{cases}$
$\displaystyle \Longrightarrow $ đường thẳng AB là $\displaystyle y=2x+3$
AB cắt trục tung tại điểm I(0;3)
$\displaystyle \Longrightarrow S_{OAB} =S_{OAI} +S_{OBI} =\frac{1}{2} AH.OI+\frac{1}{2} BK.OI$
Ta có $\displaystyle AH=1;BK=3;OI=3$
$\displaystyle \Longrightarrow S_{OAB} =6$
b)
Giả sử C($\displaystyle c;c^{2}$) thuộc cung nhỏ (P) với $\displaystyle -1< c< 3$
$\displaystyle \Longrightarrow S_{ABC} =S_{ABB'A'} -S_{ACC'A'} -S_{BCC'B'}{}$
Với ($\displaystyle A'( -1;0) ;B'( 3;0)$ )
Các tứ giác $\displaystyle ABB'A';ACC'A';BCC'B'$ đều là hình thang vuông
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Longrightarrow S_{ABC} =\frac{1+9}{2} .4+\frac{1+c^{2}}{2}( c+1) -\frac{9+c^{2}}{2}( 3-c) =8-2( c-1)^{2}\
\Longrightarrow S_{ABC} \leqslant 8
\end{array}$
Vậy diện tích lớn nhất của tam giác ABC là 8 khi C(1;1)

Timi · Answer

a/ Để tính diện tích tam giác OAB, ta sử dụng công thức diện tích tam giác bằng một nửa tích vô hướng của hai vectơ. Ta có hai điểm A(-1,1) và B(3,9). Để tính diện tích tam giác OAB, ta cần tính vectơ OA và vectơ OB.

Vectơ OA có định dạng (x_A - x_O, y_A - y_O), trong đó x_A và y_A là tọa độ của điểm A, và x_O và y_O là tọa độ của điểm O. Thay vào đó, ta có vectơ OA = (-1 - 0, 1 - 0) = (-1, 1).

Tương tự, vectơ OB có định dạng (x_B - x_O, y_B - y_O), trong đó x_B và y_B là tọa độ của điểm B. Thay vào đó, ta có vectơ OB = (3 - 0, 9 - 0) = (3, 9).

Tiếp theo, ta tính tích vô hướng của hai vectơ OA và OB bằng cách nhân từng thành phần của chúng và cộng lại. Ta có:

OA \cdot OB = (-1)(3) + (1)(9) = -3 + 9 = 6.

Sau đó, ta tính diện tích tam giác OAB bằng một nửa tích vô hướng của hai vectơ OA và OB. Ta có:

ext{Diện tích tam giác OAB} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3.

Vậy diện tích tam giác OAB là 3.

b/ Để xác định điểm C thuộc cung nhỏ AB của (P) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất, ta cần tìm điểm C trên cung nhỏ AB của đồ thị parabol (P) sao cho diện tích tam giác ABC là lớn nhất.

Để làm điều này, ta sử dụng một số kiến thức về đạo hàm và điểm cực trị của hàm số. Để tìm điểm C, ta cần tìm điểm trung tuyến của hai điểm A và B trên đồ thị parabol (P).

Điểm trung tuyến của hai điểm A và B có tọa độ là trung bình của tọa độ của hai điểm đó. Ta có:

x_C = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1,

y_C = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{1 + 9}{2} = 5.

Vậy tọa độ của điểm C là (1, 5).

Để xác định xem diện tích tam giác ABC có lớn nhất hay không, ta cần kiểm tra xem điểm C có nằm trên đồ thị parabol (P) hay không. Để làm điều này, ta thay tọa độ của điểm C vào phương trình của parabol (P). Ta có:

y_C = x_C^2 = 1^2 = 1.

Vì y_C = 1 khác với y_C = 5, nên điểm C không nằm trên đồ thị parabol (P).

Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất là diện tích tam giác OAB, và diện tích này đã được tính là 3.