từ m nằm ngoài đường tròn (O;R) sao cho OM2R, vẽ hai tiếp tuyến MA, MB( A,B là các tiếp điểm ) l. gọi H là giao điểm của OM và AB. a) chứng minh M,A,O,B cùng thuộc một đường tròn và OM vuông góc AB tại H. b) vẽ đường kính BD của đường tròn (O). đường thẳng MD cắt (O) tại điểm thứ hai là E. chứng minh ME.MD=MH.MO và MHE=MDO. c) gọi J là hình chiếu của A trên OD, gọi P là trung điểm của AJ. chứng minh M,P,D thẳng hàng

Question

từ m nằm ngoài đường tròn (O;R) sao cho OM>2R, vẽ hai tiếp tuyến MA, MB( A,B là các tiếp điểm ) l. gọi H là giao điểm của OM và AB. a) chứng minh M,A,O,B cùng thuộc một đường tròn và OM vuông góc AB tại H. b) vẽ đường kính BD của đường tròn (O). đường thẳng MD cắt (O) tại điểm thứ hai là E. chứng minh ME.MD=MH.MO và MHE=MDO. c) gọi J là hình chiếu của A trên OD, gọi P là trung điểm của AJ. chứng minh M,P,D thẳng hàng

Hand1818 · Accepted Answer

a) $\displaystyle MA,\ MB$ là tiếp tuyến đường tròn (O)
⟹ $\displaystyle \widehat{OAM} \ =\ \widehat{OBM} \ =\ 90^{0}$
Xét tứ giác $\displaystyle MAOB$ có $\displaystyle \widehat{OAM} \ +\widehat{OBM} \ =\ 90^{0} \ +\ 90^{0} \ =\ 180^{0}$
⟹ Tứ giác $\displaystyle MAOB$ nội tiếp
⟹ $\displaystyle M,\ A,\ O,\ B$ cùng thuộc 1 đường tròn
Xét đường tròn (O) có 2 tiếp tuyến MA, MB cắt nhau tại M
⟹ $\displaystyle OM$ là tia phân giác $\displaystyle \widehat{AOB}$
Xét $\displaystyle \vartriangle OAB$ có $\displaystyle OA\ =OB\ =\ R$
⟹ $\displaystyle \vartriangle OAB$ cân tại O
⟹ OM vừa là phân giác vừa là đường cao
⟹ $\displaystyle OM\ \bot \ AB$
b) Xét đường tròn (O) có tiếp tuyến MA
⟹ $\displaystyle \widehat{MAE} \ =\ \widehat{ADM}$ (cùng chắn cung AE)
Xét $\displaystyle \vartriangle MEA$ và $\displaystyle \vartriangle MAD$ có
$\displaystyle \widehat{AMB} \ chung$
$\displaystyle \widehat{MAE} \ =\widehat{ADM} \ $
⟹ $\displaystyle \vartriangle MEA\ \sim \vartriangle MAD\ ( g-g) \ $
⟹ $\displaystyle \frac{ME}{MA} \ =\ \frac{MA}{MD}$
⟹ $\displaystyle MA^{2} \ =\ MD.ME$ (1)
Xét đường tròn (O) có tiếp tuyến MA
⟹ $\displaystyle \widehat{OAM} \ =\ 90^{0}$
⟹ $\displaystyle \vartriangle OAM$ vuông tại A
$\displaystyle \vartriangle OAM$ vuông tại A có $\displaystyle AH\bot \ OM$
⟹ $\displaystyle AM^{2} \ =\ MH.MO$ (2)
(1), (2) ⟹ $\displaystyle MH.MO\ =\ ME.MD$

Timi · Answer

a) Để chứng minh rằng M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn và OM vuông góc AB tại H, ta sử dụng các bước sau:

Bước 1: Vẽ đường tròn (O;R) với tâm O và bán kính R.

Bước 2: Vẽ đoạn thẳng OM từ điểm M đến tâm O sao cho OM > 2R.

Bước 3: Vẽ hai tiếp tuyến MA và MB từ điểm M đến đường tròn (O;R). Gọi A và B lần lượt là các tiếp điểm của tiếp tuyến MA và MB với đường tròn.

Bước 4: Gọi H là giao điểm của đường thẳng OM và đoạn thẳng AB.

Bước 5: Chứng minh M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn:
   - Ta có MA là tiếp tuyến của đường tròn (O;R), nên góc MOA = 90° (góc vuông).
   - Tương tự, MB cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O;R), nên góc MOB = 90°.
   - Vì góc MOA = 90° và góc MOB = 90°, nên M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.

Bước 6: Chứng minh OM vuông góc AB tại H:
   - Ta có góc MOA = 90° và góc MOB = 90° (từ bước 5).
   - Vì M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn, nên góc MOA = góc MOB.
   - Vì góc MOA = góc MOB và góc MOA = 90°, nên góc MOB = 90°.
   - Vì AB là tiếp tuyến của đường tròn (O;R), nên góc ABH = 90°.
   - Vì góc MOB = 90° và góc ABH = 90°, nên OM vuông góc AB tại H.

Vậy, ta đã chứng minh rằng M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn và OM vuông góc AB tại H.

b) Để chứng minh ME.MD = MH.MO và MHE = MDO, ta sử dụng các bước sau:

Bước 1: Vẽ đường kính BD của đường tròn (O). Đường kính này cắt đường thẳng MD tại điểm E.

Bước 2: Chứng minh ME.MD = MH.MO:
   - Ta có góc MOA = 90° và góc MOB = 90° (từ bước a).
   - Vì M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn, nên góc MOA = góc MOB.
   - Vì góc MOA = góc MOB và góc MOA = 90°, nên góc MOB = 90°.
   - Vì AB là tiếp tuyến của đường tròn (O;R), nên góc ABH = 90°.
   - Vì OM vuông góc AB tại H (từ bước a), nên góc MOH = 90°.
   - Vì góc MOB = 90° và góc MOH = 90°, nên M, O, B, H cùng thuộc một đường tròn.
   - Vì M, O, B, H cùng thuộc một đường tròn, nên góc MHB = góc MOB.
   - Từ các góc đã biết, ta có:
      + Góc MHE = góc MHB - góc EHB (góc ngoài của tam giác MHB)
      + Góc MDO = góc MOB - góc ODB (góc ngoài của tam giác MOB)
   - Vì góc MHB = góc MOB (từ bước a) và góc EHB = góc ODB (góc nội tiếp cùng chắn cung EB), nên góc MHE = góc MDO.
   - Vì góc MHE = góc MDO, nên tam giác MHE và tam giác MDO đồng dạng.
   - Vì tam giác MHE và tam giác MDO đồng dạng, nên tỉ số các cạnh tương ứng bằng nhau.
   - Ta có: ME/MD = MH/MO.
   - Từ đó, suy ra ME.MD = MH.MO.

Bước 3: Chứng minh MHE = MDO:
   - Ta đã chứng minh rằng tam giác MHE và tam giác MDO đồng dạng (từ bước 2).
   - Vì tam giác MHE và tam giác MDO đồng dạng, nên các góc tương ứng bằng nhau.
   - Ta có: góc MHE = góc MDO.

Vậy, ta đã chứng minh ME.MD = MH.MO và MHE = MDO.

c) Để chứng minh M, P, D thẳng hàng, ta sử dụng các bước sau:

Bước 1: Gọi J là hình chiếu của A lên OD.

Bước 2: Gọi P là trung điểm của đoạn thẳng AJ.

Bước 3: Chứng minh M, P, D thẳng hàng:
   - Ta có góc MOA = 90° và góc MOB = 90° (từ bước a).
   - Vì M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn, nên góc MOA = góc MOB.
   - Vì góc MOA = góc MOB và góc MOA = 90°, nên góc MOB = 90°.
   - Vì AB là tiếp tuyến của đường tròn (O;R), nên góc ABH = 90°.
   - Vì OM vuông góc AB tại H (từ bước a), nên góc MOH = 90°.
   - Vì góc MOB = 90° và góc MOH = 90°, nên M, O, B, H cùng thuộc một đường tròn.
   - Vì M, O, B, H cùng thuộc một đường tròn, nên góc MHB = góc MOB.
   - Từ các góc đã biết, ta có:
      + Góc MHP = góc MHA - góc PHA (góc ngoài của tam giác MHA)
      + Góc MDP = góc MDB - góc PDB (góc ngoài của tam giác MDB)
   - Vì góc MHA = góc MDB (từ bước a) và góc PHA = góc PDB (góc nội tiếp cùng chắn cung PA), nên góc MHP = góc MDP.
   - Vì góc MHP = góc MDP, nên tam giác MHP và tam giác MDP đồng dạng.
   - Vì tam giác MHP và tam giác MDP đồng dạng, nên tỉ số các cạnh tương ứng bằng nhau.
   - Ta có: MP/PD = MH/MD.
   - Từ đó, suy ra MP.PD = MH.MD.

Vậy, ta đã chứng minh M, P, D thẳng hàng.

từ m nằm ngoài đường tròn (O;R) sao cho OM>2R, vẽ hai tiếp tuyến MA, MB( A,B là các tiếp điểm ) l. gọi H là giao điểm của OM và AB. a) chứng minh M,A,O,B cùng thuộc một đường tròn và OM vuông góc AB tạ...