Tìm tất cả số nguyên dương n thỏa mãn 36^n + 6 là tích của ít nhất hai số nguyên dương liên tiếp

Để giải bài toán này, ta cần tìm số nguyên dương n thỏa mãn biểu thức $36^n + 6$ là tích của ít nhất hai số nguyên dương liên tiếp. Ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để giải bài toán này. Giả sử $36^n + 6$ là tích của hai số nguyên dương liên tiếp. Khi đó, ta có: \begin{align*} 36^n + 6 &= a \cdot (a+1) \\ &= a^2 + a \end{align*} Trong đó, $a$ là một số nguyên dương. Tiếp theo, ta cần tìm giá trị của n sao cho biểu thức $36^n + 6$ có thể biểu diễn được dưới dạng $a^2 + a$. Điều này có nghĩa là: \begin{align*} 36^n + 6 &= a^2 + a \\ 36^n &= a^2 + a - 6 \end{align*} Để tìm giá trị của n, ta cần xem xét các giá trị của $a$ và kiểm tra xem liệu tồn tại một giá trị của n sao cho phương trình trên được thoả mãn. Ta thấy rằng khi $a = 1$, ta có: \begin{align*} 36^n &= 1^2 + 1 - 6 \\ 36^n &= -4 \end{align*} Điều này không thể xảy ra vì $36^n$ phải là một số nguyên dương. Khi $a = 2$, ta có: \begin{align*} 36^n &= 2^2 + 2 - 6 \\ 36^n &= 0 \end{align*} Tương tự, điều này cũng không thể xảy ra vì $36^n$ phải là một số nguyên dương. Tiếp theo, khi $a = 3$, ta có: \begin{align*} 36^n &= 3^2 + 3 - 6 \\ 36^n &= 12 \end{align*} Điều này chỉ có thể xảy ra khi $n = 1$. Vậy n = 1 là giá trị duy nhất của n thoả mãn bài toán ban đầu. Vậy kết quả cuối cùng là: n = 1.