help tui ae ơi

Câu 1. (5 điểm) a) Cho $\frac ab=\frac cd.$ Chứng minh rằng: $\frac{3a^6+c^6}{3b^6+d^6}=\frac{(a+c)^6}{(b+d)^6}$ $(b+d\ne0)$ Loại bài toán: Bài toán chứng minh trong môn Toán học. Bước 1: Đặt $x = \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (vì $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$) Bước 2: Chúng ta cần chứng minh rằng $\frac{3a^6+c^6}{3b^6+d^6}=\frac{(a+c)^6}{(b+d)^6}$ Thay $a = bx$ và $c = dx$ vào phương trình trên, ta được: $\frac{3(bx)^6+(dx)^6}{3b^6+(d)^6}=\frac{(bx+dx)^6}{(b+d)^6}$ Sau khi rút gọn, ta có: $\frac{3b^6x^6+d^6x^6}{3b^6+d^6}=\frac{(b+d)^4x^4(b+d)^2x^2}{(b+d)^4(b+d)^2}$ Rút gọn tiếp, ta có: $\frac{x^{4}(3+x^{2})}{1+x^{2}}= x^{4}(1+x^{2})$ Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng $\frac{3a^6+c^6}{3b^6+d^6}=\frac{(a+c)^6}{(b+d)^6}$ nếu $\frac ab=\frac cd.$ b) Tìm hai số dương, biết rằng tổng, hiệu, tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với 15;60 và 8 Loại bài toán này là bài toán tìm số theo tỉ lệ. Gọi hai số cần tìm là $x$ và $y$ (với $x, y > 0$). Theo đề bài, ta có hệ phương trình sau: \[ \begin{cases} x + y = \frac{k}{15} \\ |x - y| = \frac{k}{60} \\ xy = \frac{k}{8} \end{cases} \] Trong đó, $k$ là một hằng số dương. Từ phương trình thứ nhất và thứ ba, ta có: $x^2 - (x+y)x + xy = 0$ Thay giá trị của $x+y$ và $xy$ vào, ta được: $x^2 - \frac{k}{15}x + \frac{k}{8} = 0$ Đây là một phương trình bậc hai với biến là $x$. Giải phương trình này, ta được nghiệm: $x_{1,2} = \frac{\frac{k}{15} ± \sqrt{(\frac{k}{15})^2 - 4*\frac{k}{8}}}{2}$ Do $x > 0$, nên ta chỉ quan tâm đến nghiệm dương. Vì vậy: $x = \frac{\frac{k}{15} + \sqrt{(\frac{k}{15})^2 - 4*\frac{k}{8}}}{2}$ Từ đó, ta suy ra giá trị của $y$ từ phương trình thứ nhất hoặc thứ ba. Lưu ý: Để giải bài toán này, ta cần giả sử rằng tồn tại một hằng số $k$ sao cho các tỉ lệ được đề cập trong bài toán là đúng. Nếu không, bài toán sẽ không có nghiệm.