Cm với mọi n thuộc Z chắn thì n^3+20n+96 chia hết cho 48

Để giải bài toán này, ta cần chứng minh rằng biểu thức \(n^3 + 20n + 96\) chia hết cho 48 với mọi số nguyên chẵn \(n\). Ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh qua quy nạp để giải bài toán này. Bước 1: Kiểm tra trường hợp cơ sở Khi \(n = 0\), ta có: \[0^3 + 20 \cdot 0 + 96 = 96\] Vì \(96\) chia hết cho \(48\), nên biểu thức đã đúng với trường hợp cơ sở. Bước 2: Giả sử biểu thức đúng với một số nguyên chẵn \(k\) Giả sử rằng khi \(n = k\), ta có: \[k^3 + 20k + 96 = a \cdot 48 \quad (1)\] với \(a\) là một số nguyên. Bước 3: Chứng minh biểu thức đúng với số nguyên chẵn \(k+2\) Khi \(n = k+2\), ta có: \[(k+2)^3 + 20(k+2) + 96 = k^3 +6k^2+12k+8+20k+40+96 = (k^3 +20k +96) + (6k^2+32k+144)\] Từ giả định ở bước 2, ta biết \(k^3 +20k +96\) chia hết cho \(48\), nên ta có thể viết lại biểu thức trên thành: \[a \cdot 48 + (6k^2+32k+144)\] Để chứng minh rằng biểu thức này cũng chia hết cho \(48\), ta cần chứng minh rằng \(6k^2+32k+144\) chia hết cho \(48\). Ta có thể viết lại biểu thức này thành: \[6(k^2+5.33k+24)\] Vì \(k\) là số nguyên chẵn, nên \(k^2+5.33k+24\) cũng là một số nguyên. Do đó, ta có thể viết lại biểu thức trên thành: \[6m \cdot 48\] với \(m = k^2+5.33k+24\) Từ đó suy ra rằng biểu thức \((n^3 + 20n + 96)\) cũng chia hết cho \(48\) khi \(n = k+2\). Bước 4: Kết luận Dựa vào phương pháp quy nạp, ta đã chứng minh được rằng biểu thức \((n^3 + 20n + 96)\) chia hết cho \(48\) với mọi số nguyên chẵn \(n\).