Cho tam giác ABC có đường cao AH. Biết AC= 9cm, AB = 12cm, BC= 15cm. Lấy M, N lần lượt là trung điểm của AH và BH. a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. b) Chứng minh ∆HNM đồng dạng với ∆ABC.

Cho tam giác ABC có đường cao AH. Biết AC= 9cm, AB = 12cm, BC= 15cm. Lấy M, N lần lượt là trung điểm của AH và BH. Để giải bài toán này, ta có thể sử dụng định lý Pythagoras và công thức trung điểm. Đầu tiên, ta cần tính độ dài đường cao AH. Ta biết rằng tam giác ABC là một tam giác vuông tại A, nên ta có thể sử dụng định lý Pythagoras để tính được AH như sau: \[AH = \sqrt{AB^2 - BH^2}\] Với AB = 12cm và BC = 15cm, ta có: \[AH = \sqrt{12^2 - (\frac{15}{2})^2} = \sqrt{144 - \frac{225}{4}}\] Tiếp theo, ta cần tìm trung điểm M của đường cao AH. Để làm điều này, ta chỉ cần lấy trung bình cộng của các tọa độ của hai đỉnh A và H. Vì tọa độ của A là (0, 0) và tọa độ của H là (0, AH), nên tọa độ của M sẽ là: \[M(\frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + AH}{2})\] Tương tự, để tìm trung điểm N của BH, ta chỉ cần lấy trung bình cộng của các tọa độ của B và H. Vì tọa độ của B là (AC, 0) và tọa độ của H vẫn là (0, AH), nên tọa độ của N sẽ là: \[N(\frac{AC + 0}{2}, \frac{0 + AH}{2})\] Sau khi tính toán, ta sẽ có kết quả cuối cùng như sau: Tọa độ của điểm M: (3.6, 2.7) Tọa độ của điểm N: (9.6, 2.7) a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Để chứng minh tam giác ABC vuông tại A, ta cần sử dụng định lý Pythagoras. Định lý này nói rằng trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền (cạnh đối diện góc vuông) bằng tổng bình phương của hai cạnh góc kề. Cho tam giác ABC với các cạnh AB, BC và AC. Để chứng minh tam giác ABC vuông tại A, ta cần kiểm tra xem có thỏa mãn phương trình Pythagoras hay không. Phương trình Pythagoras được viết như sau: \[AB^2 = AC^2 + BC^2\] Nếu phương trình này không đúng, tức là \(AB^2\) không bằng \(AC^2 + BC^2\), thì tam giác ABC không vuông tại A. Vậy để chứng minh tam giác ABC vuông tại A, ta chỉ cần kiểm tra xem liệu phương trình Pythagoras có thỏa mãn hay không. Nếu không thỏa mãn, ta kết luận rằng tam giác ABC không vuông tại A. b) Chứng minh ∆HNM đồng dạng với ∆ABC. Để chứng minh rằng hai tam giác ∆HNM và ∆ABC đồng dạng, ta cần chứng minh rằng các góc của hai tam giác này bằng nhau và tỉ lệ các cạnh tương ứng của chúng cũng bằng nhau. 1. Chứng minh các góc của hai tam giác bằng nhau: - Góc HNM = Góc ABC (do là góc đối) - Góc NHM = Góc BAC (do là góc đối) - Góc HMN = Góc BCA (do là góc đối) 2. Chứng minh tỉ lệ các cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau: Ta có: $\frac{HN}{AB} = \frac{HM}{AC} = \frac{NM}{BC}$ Vậy, từ việc chứng minh các góc và tỉ lệ các cạnh tương ứng bằng nhau, ta kết luận được rằng hai tam giác ∆HNM và ∆ABC đồng dạng.