Cho Q=1/5-2/5 mũ 2+3/5 mũ 2-4/5 mũ 4+...+2021/5 mũ 2021-2022/5 mũ 2022. So sánh Q với 5/36

Question

baolinhvu15 · Accepted Answer

$\displaystyle Q=\frac{1}{5} -\frac{2}{5^{2}} +\frac{3}{5^{3}} -...+\frac{2021}{5^{2021}} -\frac{2022}{5^{2022}}$
$\displaystyle \Longrightarrow 5Q=1-\frac{2}{5} +\frac{3}{5^{2}} -...+\frac{2021}{5^{2020}} -\frac{2022}{5^{2021}}$
$\displaystyle \Longrightarrow 5Q+Q=\left( 1-\frac{2}{5} +\frac{3}{5^{2}} -...+\frac{2021}{5^{2020}} -\frac{2022}{5^{2021}}\right) +\left(\frac{1}{5} -\frac{2}{5^{2}} +\frac{3}{5^{3}} -...+\frac{2021}{5^{2021}} -\frac{2022}{5^{2022}}\right)$
$\displaystyle \Longrightarrow 6Q=1-\frac{1}{5} +\frac{1}{5^{2}} -...+\frac{1}{5^{2020}} -\frac{1}{5^{2021}} -\frac{2022}{5^{2022}}$
$\displaystyle \Longrightarrow \frac{-6}{5} Q=\frac{-1}{5} +\frac{1}{5^{2}} -\frac{1}{5^{3}} +...-\frac{1}{5^{2021}} -\frac{1}{5^{2022}} -\frac{2022}{5^{2023}}$
$\displaystyle \Longrightarrow 6Q-($ $\displaystyle \frac{-6}{5} Q) =\left( 1-\frac{1}{5} +\frac{1}{5^{2}} -...+\frac{1}{5^{2020}} -\frac{1}{5^{2021}} -\frac{2022}{5^{2022}}\right) -$
$\displaystyle \left(\frac{-1}{5} +\frac{1}{5^{2}} -\frac{1}{5^{3}} +...-\frac{1}{5^{2021}} -\frac{1}{5^{2022}} -\frac{2022}{5^{2023}}\right)$
$\displaystyle \Longrightarrow \frac{36}{5} Q=1-\frac{2021}{5^{2022}} +\frac{2022}{5^{2023}} =1-\frac{1}{5^{2022}}\left( 2021-\frac{2022}{5}\right) < 1$
$\displaystyle \Longrightarrow Q< \frac{5}{36}$ (dpcm)

Timi · Answer

Đây là một bài toán thuộc loại dãy số và chuỗi số. Để giải quyết nó, chúng ta cần phân tích và tìm ra quy luật của dãy số.

Dãy số cho trước có dạng:

Q = \frac{1}{5} - \frac{2}{5}x^2 + \frac{3}{5}x^3 - \frac{4}{5}x^4 + ... + \frac{2021}{5}x^{2021} - \frac{2022}{5}x^{2022}

Chúng ta có thể nhận thấy rằng các hệ số của x đều chia hết cho 5 và chỉ số mũ của x tăng dần từ 1 đến 2022.

Bây giờ, để so sánh Q với \frac{5}{36}, chúng ta cần tìm giá trị của x sao cho Q = \frac{5}{36}.

Tuy nhiên, với dạng biểu thức này, việc tìm giá trị cụ thể của x khá phức tạp. Thay vào đó, chúng ta có thể áp dụng phương pháp so sánh tổng quát.

Nhận thấy rằng khi x tiến gần đến 0 (nhưng không bằng 0), các thành phần trong chuỗi Q sẽ tiến gần đến 0. Do đó, khi x tiến gần đến 0, Q sẽ tiến gần đến \frac{1}{5}.

Vì vậy, chúng ta có thể kết luận rằng khi x tiến gần đến 0, Q > \frac{5}{36}.

Tuy nhiên, điều này chỉ đúng khi x tiến gần đến 0. Đối với các giá trị khác của x, chúng ta không thể so sánh được Q và \frac{5}{36} mà không có thêm thông tin.

Nguyen San · Answer

`Q=1/5-2/5^2+3/5^3-...+2021/5^2021-2022/5^2022`

`5Q=1-2/5+3/5^2-...+2021/5^2020-2022/5^2021`

`5Q+Q=(1-2/5+3/5^2-...+2021/5^2020-2022/5^2021)+(1/5-2/5^2+3/5^3-...+2021/5^2021-2022/5^2022)`

`6Q=1-1/5+1/5^2-...+1/5^2020-1/5^2021-2022/5^2022`

`30Q=5-1+1/5-...+1/5^2019-1/5^2020-2022/5^2021`

`30Q+6Q=(5-1+1/5-...+1/5^2019-1/5^2020-2022/5^2021)+(1-1/5+1/5^2-...+1/5^2020-1/5^2021-2022/5^2022)`

`36Q=5-2023/5^2021-2022/5^2022<5`

`=>Q<5:36=5/36`

`=>Q<5/36`(đpcm)

Tài khoản ẩn danh · Answer

{"userId":5186744,"userName":"Anh Pham"}

Ta có :

Q = 1/5 - 2/5^2 + 3/5^3 - ... + 2021/5^2021 - 2022/5^2022

⇒ 5Q = 1 - 2/5 +3/5^2 - ... + 2021/5^2020 - 2022/5^2021

⇒ 5Q +Q = (1 - 2/5 +3/5^2 - ... + 2021/5^2020 - 2022/5^2021) + (1/5 - 2/5^2 + 3/5^3 - ... + 2021/5^2021 - 2022/5^2022)

⇒ 6Q = 1 - 1/5 + 1/5^2 - ... + 1/5^2020 - 1/5^2021 - 2022/5^2022

⇒ -6/5Q = -1/5 + 1/5^2 - 1/5^3 + ... - 1/5^2021 - 1/5^2022 - 2022/5^2023

⇒ 6Q - (-6/5Q) = (1 - 1/5 + 1/5^2 - ... + 1/5^2020 - 1/5^2021 - 2022/5^2022) - (-1/5 + 1/5^2 - 1/5^3 + ... - 1/5^2021 - 1/5^2022 - 2022/5^2023)

⇒ 36/5Q = 1- 2021/5^2022 + 2022/5^2023 = 1 - 1/5^2022(2021 - 2022/5) < 1

⇒ Q < 5/36 (đpcm)