cách viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng

Question

vutiendat · Accepted Answer

Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0.

+ Để đưa đường thẳng d về dạng tham số ta làm như sau:

Xác định một điểm A(x₀; y₀) thuộc đường thẳng d.

Đường thẳng d nhận VTPT $\displaystyle \vec{n} =( a;b)$ nên VTCP $\displaystyle \vec{u} =( b;-a)$

⇒ Phương trình tham số của d:

Cách chuyển dạng phương trình đường thẳng: tổng quát sang tham số, chính tắc

+ Nếu a.b ≠ 0 thì đường thẳng d có phương trình chính tắc là :

Nếu ab = 0 thì đường thẳng d không có phương trình chính tắc.

* Cho đường thẳng d:

+ Đưa đường thẳng d về phương trình tổng quát:

(d):

⇒ ( d): b( x - x₀) – a(y - y₀) = 0

+ Nếu a.b ≠ 0 thì đường thẳng d có phương trình chính tắc là :

Nếu ab = 0 thì đường thẳng d không có phương trình chính tắc.

Timi · Answer

Đầu tiên, chúng ta cần xác định loại bài toán mà chúng ta đang giải quyết. Bài toán này là về việc tìm phương trình tham số và phương trình tổng quát của một đường thẳng trong không gian.

1. Phương trình tham số của đường thẳng:

Phương trình tham số của một đường thẳng được xác định bởi một điểm thuộc đường thẳng và một vector chỉ phương (vector hướng) của nó.

Nếu $A(x_0, y_0, z_0)$ là một điểm thuộc đường thẳng và $\vec{d}(a, b, c)$ là vector chỉ phương (vector hướng) của nó, phương trình tham số của đường thẳng sẽ có dạng:

$$
\begin{cases}
x = x_0 + at \
y = y_0 + bt \
z = z_0 + ct
\end{cases}
$$

Trong đó $t$ là thông số.

2. Phương trình tổng quát của đường thẳng:

Phương trình tổng quát của một đường thẳng trong không gian không có dạng chuẩn như trong mặt phẳng. Tuy nhiên, nó có thể được biểu diễn dưới dạng hai phương trình tuyến tính không song song với nhau.

Nếu $A(x_0, y_0, z_0)$ là một điểm thuộc đường thẳng và $\vec{d}(a, b, c)$ là vector chỉ phương (vector hướng) của nó, phương trình tổng quát của đường thẳng sẽ có dạng:

$$
\begin{cases}
\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} \
\frac{x - x_0}{a} = \frac{z - z_0}{c}
\end{cases}
$$

Lưu ý rằng trong cả hai trường hợp trên, chúng ta giả định rằng các số $a$, $b$ và $c$ không đồng thời bằng 0.