Chứng minh rằng hai phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n:
a. n+1/2n+3
b. 2n+3/4n+8
c. 3n+2/5n+3

Question

Chứng minh rằng hai phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n:
a.	n+1/2n+3
b.	2n+3/4n+8
c.	3n+2/5n+3

lengoc · Accepted Answer

a,Gọi $\displaystyle ƯCLN( n+1;2n+3) =d\left( d\in \mathbb{N}^{*}\right) \ $
$\displaystyle n+1=2n+2$(1)
$\displaystyle 2n+3$(2)
Lấy (2)$\displaystyle -$(1) ta được :
$\displaystyle 2n+3−2n+2=1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy ta có đpcm
b,Gọi $\displaystyle ƯCLN( 2n+3;4n+8) =d\left( d\in \mathbb{N}^{*}\right)$
$\displaystyle 2n+3=4n+6$ (1)
$\displaystyle 4n+8$ (2)
Lấy (2)$\displaystyle -$(1) ta được:
$\displaystyle 4n+8-4n-6=2\vdots d\Rightarrow d\in \{1;2\}$
$\displaystyle 2n+3$ không chia hết cho $\displaystyle 2$
$\displaystyle \Rightarrow d=1$
Vậy ta có đpcm
c,Gọi $\displaystyle ƯCLN( 3n+2;5n+3) =d\left( d\in \mathbb{N}^{*}\right)$
$\displaystyle 3n+2=15n+10$(1)
$\displaystyle 5n+3=15n+9$(2)
Lấy (1)$\displaystyle -$(2) ta được :
$\displaystyle 15n+10−15n−9=1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy ta có đpcm

Timi · Answer

Đây là một bài toán thuộc phần số học trong chương trình Toán học. Chúng ta sẽ tiến hành chứng minh rằng hai phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n.

a. $\frac{n+1}{2n+3}$

b. $\frac{2n+3}{4n+8}$

c. $\frac{3n+2}{5n+3}$

Chúng ta cần chứng minh rằng UCLN của tử số và mẫu số của mỗi phân số luôn bằng 1.

a. Đối với phân số $\frac{n+1}{2n+3}$, ta có thể viết lại như sau:

UCLN$(n + 1, 2n + 3)$ = UCLN$(n + 1, (2n + 3) - (n + 1))$ = UCLN$(n + 1, n + 2)$ = UCLN$(1, n + 2)$ = $1$

b. Đối với phân số $\frac{2n+3}{4n+8}$, ta có thể viết lại như sau:

UCLN$(2(n + \frac{3}{2}), 4(n + \frac{5}{2}))$ = $2 *$ UCLN$(n + \frac{3}{2}, n + \frac{5}{2})$ = $2 *$ UCLN$(\frac{1}{2}, n+\frac{5}{2})$ = $1$

c. Đối với phân số $\frac{3n+2}{5n+3}$, ta có thể viết lại như sau:

UCLN$(3n + 2, 5n + 3)$ = UCLN$(3n + 2, (5n + 3) - (3n + 2))$ = UCLN$(3n + 2, 2n + 1)$ = UCLN$(n+1, 2n+1)$ = UCLN$(1, n+1)$ = $1$

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng hai phân số trên tối giản với mọi số tự nhiên n.

Chứng minh rằng hai phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n: a. n+1/2n+3 b. 2n+3/4n+8 c. 3n+2/5n+3