Cho hai điểm A, B cố định có độ dài bằng a, vecto a khác vecto 0 và số thực k cho trước. Tìm tập hợp điểm M sao cho: vecto MA. Vecto MB=3a^2/4

Question

Cho hai điểm A, B cố định có độ dài bằng a, vecto a khác vecto 0 và số thực k cho trước. Tìm tập hợp điểm M sao cho:  vecto MA. Vecto MB=3a^2/4

changg · Accepted Answer

{"userId":5193335,"userName":"nguyencongmanh"}

Gọi $$I$ là trung điểm $$AB \Rightarrow IA=IB=\dfrac{a}{2}$

Bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của vectơ

$$\Rightarrow \overrightarrow{IB}=\overrightarrow{IA}=(\dfrac{a}{2})^2=\dfrac{a^2}{4}$

$$\Rightarrow \overrightarrow{IB}=-\overrightarrow{IA}$

Ta có: $$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\dfrac{3a^2}{4}$

$$\Rightarrow (\overrightarrow{MI}+ \overrightarrow{IA})(\overrightarrow{MI}+ \overrightarrow{IB})=\dfrac{3a^2}{4} $

$$\Rightarrow (\overrightarrow{MI})^2 - (\overrightarrow{IA})^2=\dfrac{3a^2}{4} $

$$\Rightarrow (\overrightarrow{MI})^2=\dfrac{3a^2}{4}+(\overrightarrow{IA})^2$

$$\Rightarrow (\overrightarrow{MI})^2=\dfrac{3a^2}{4}+ \dfrac{a^2}{4}=a^2$

$$\Rightarrow MI^2=a^2$

$$\Rightarrow MI=a$

Vậy tập hợp điểm $$M$ là đường tròn tâm I, bán kính là $$R=a$

Timi · Answer

**Bước 1:** Gọi vecto $\overrightarrow{AB}$ là vecto cố định có độ dài $a$ và góc phương với trục Ox là $\alpha$. Khi đó, ta có thể biểu diễn vecto $\overrightarrow{AB}$ dưới dạng:
$$
\overrightarrow{AB} = a(\cos{\alpha}, \sin{\alpha})
$$

**Bước 2:** Gọi $M(x, y)$ là tọa độ của điểm $M$. Ta có thể biểu diễn vecto $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ như sau:
$$
\overrightarrow{MA} = (x - x_A, y - y_A)
$$
$$
\overrightarrow{MB} = (x - x_B, y - y_B)
$$

**Bước 3:** Đặt điều kiện theo yêu cầu bài toán: 
$$|\overrightarrow{MA}| = k|\overrightarrow{MB}|$$
Tức là:
$$|(x - x_A, y - y_A)| = k |(x - x_B, y - y_B)|$$
$$|(x - x_A, y - y_A)|^2 = k^2 |(x - x_B, y - y_B)|^2$$

**Bước 4:** Thay các giá trị vào phương trình và giải hệ phương trình để tìm tập hợp điểm $M$ thỏa mãn.

**Đáp án:**
Tập hợp điểm $M$ thỏa mãn là các điểm có tọa độ $ (x,y) $ sao cho:
$$ (x-x_A)^2 + (y-y_A)^2 = \frac{3}{4} a^2 ((x-x_B)^2 + (y-y_B)^2 ) $$

hongloan · Answer

Gọi I là trung điểm của AB
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\overrightarrow{MA} .\overrightarrow{MB} =\frac{3a^{2}}{4}\
\Rightarrow (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IA})(\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB}) =\frac{3a^{2}}{4}\
\Rightarrow MI^{2} -IA^{2} =\frac{3a^{2}}{4}( \ do\ \overrightarrow{IB} =-\overrightarrow{IA})\
\Rightarrow MI^{2} =\frac{a^{2}}{4} +\frac{3a^{2}}{4} =a^{2}\
\Rightarrow MI=a
\end{array}$
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính R=a