Trong không gian Oxyz, cho hai điểm 4(2;1;-2),B(-1;0;3).Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A sao cho khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (P) lớn nhất.

A(2;1;-2),B(-1;0;3)
⟹ $\displaystyle \overrightarrow{AB} \ =\ ( -3;\ -1;\ 5)$
⟹ $\displaystyle AB\ =\ \sqrt{35}$
Gọi $\displaystyle H$ là hình chiếu của $\displaystyle B$ lên (P)
⟹ $\displaystyle BH\ \bot \ ( P)$
⟹ $\displaystyle d( B,\ ( P)) \ =BH\ $
Ta có $\displaystyle BH\ \leqslant \ BA$
⟹ $\displaystyle d( B,\ ( P)) \ max\ =\ BA$
Vậy khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (P) lớn nhất khi $\displaystyle H\ \equiv \ A$
Khi đó mặt phẳng (P) đi qua $\displaystyle A( 2;\ 1;\ -2)$ và nhận $\displaystyle \overrightarrow{AB} \ =\ ( -3;\ -1;\ 5)$ làm VTPT
Vậy PT mặt phẳng (P) là:
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
-3( x\ -\ 2) \ +\ ( -1)( y\ -\ 1) \ +\ 5( z\ +\ 2) \ =\ 0\\
\Leftrightarrow \ -3x\ +\ 6\ -\ y\ +\ 1\ +\ 5z\ +\ 10\ =\ 0\\
\Leftrightarrow \ -3x\ -\ y\ +\ 5z\ +\ 17\ =\ 0
\end{array}$