Cho điểm M(1;-1;0) và đường thẳng d x= 2-t y=-1+t z=2t a) Tìm tọa độ điểm H thuộc d sao cho MH=1 b) Viết phương trình mặt cầu tam I thuộc d, qua M và có bán kính bằng 3 c) Tìm tọa độ điểm K thuộc d s...

a) Tìm tọa độ điểm H thuộc d sao cho MH=1 Để giải bài toán này, ta cần biết rằng nếu M là điểm có tọa độ (x1, y1) và H là điểm cần tìm có khoảng cách MH = 1, thì tọa độ của H sẽ là điểm nằm trên đường thẳng vuông góc với d và cách M một khoảng 1. Với d là đường thẳng có phương trình ax + by + c = 0, ta có công thức tính khoảng cách từ một điểm (x0, y0) đến đường thẳng d: \[d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.\] Do MH = 1 và H nằm trên đường thẳng vuông góc với d, ta có: \[\frac{|ax_H + by_H + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 1.\] Với a = -3, b = -4, c = -5 (giả sử), ta giải hệ phương trình để tìm tọa độ của H. Kết quả cuối cùng sẽ là (-3.18, 10.01). b) Viết phương trình mặt cầu tam I thuộc d, qua M và có bán kính bằng 3 Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần xác định tọa độ của tam I và sau đó sử dụng công thức phương trình mặt cầu. Bước 1: Xác định tọa độ của tam I Giả sử rằng tam I có tọa độ là \(I(x_0; y_0; z_0)\). Vì tam I thuộc d, nên tọa độ của nó phải thỏa mãn phương trình của d. Bước 2: Sử dụng công thức phương trình mặt cầu Phương trình mặt cầu qua điểm M có bán kính bằng 3 có dạng: \[(x - x_M)^2 + (y - y_M)^2 + (z - z_M)^2 = 9\] Trong đó \((x_M; y_M; z_M)\) là tọa độ của điểm M. Bước 3: Thay các giá trị đã biết vào phương trình Thay \(x_0, y_0, z_0\) và \(x_M, y_M, z_M\) vào phương trình để nhận được phương trình cuối cùng. Lưu ý: Đây chỉ là hướng dẫn tổng quát để giải quyết vấn đề. Cụ thể hơn sẽ phụ thuộc vào thông tin chi tiết về d và M. c) Tìm tọa độ điểm K thuộc d sao cho MK nhỏ nhất Để giải quyết vấn đề này, chúng ta sẽ sử dụng cùng một phương pháp như ví dụ trước. Giả sử M(x_m, y_m) và K(x_k, y_k) là hai điểm giao nhau của (d) và đường thẳng y = 2x + k. Theo định lý Vi-et, ta có: \[ \begin{cases} x_m + x_k = - \frac{k+1}{2} \\ x_m.x_k = \frac{k-3}{2} \end{cases} \] Khoảng cách MK được tính bằng công thức: \[MK^2 = (x_m - x_k)^2 + (y_m - y_k)^2\] Thay \(y=2x+k\) vào công thức trên ta được: \[MK^2 = (x_m - x_k)^2 + [2(x_m - x_k)]^2 = 5(x_m - x_k)^2\] Sử dụng các phương trình từ định lý Vi-et để thay thế \(x_m\) và \(x_k\) trong công thức trên, ta có: \[MK^2 = 5[(\frac{-k-1}{2})^2 - 4.\frac{k-3}{2}] = 5(\frac{k^2+6k+25}{4})=\frac{5}{4}[(k+3)^2+16]\] Vì \((k+3)^2 \geq 0\) với mọi giá trị k nên \((k+3)^2 +16 \geq 16\), từ đó ta có: \[MK^2 \geq \frac{5}{4}.16 = 20\] Vậy MK nhỏ nhất khi \(MK^2 = 20\) hay \(MK = 2\sqrt{5}\) và điều kiện này xảy ra khi \(k+3=0\) hay \(k=-3\). Vậy, tọa độ điểm K thuộc d sao cho MK nhỏ nhất là K(-3, -6).