Cho tam giác ABC vuông tại B có góc C =54°. AM là trung tuyến. Tính góc A. Trên tia đối MA lấy D sao cho AM=MD .Chứng minh AMC = DMB và AC=BD

Để giải bài toán này, ta sử dụng các kiến thức về tam giác vuông và tính chất của trung tuyến. Gọi E là trung điểm của BC. Ta có AE = EC vì AM là trung tuyến. Vì tam giác ABC vuông tại B nên ta có góc A = 90° - góc C = 90° - 54° = 36°. Tiếp theo, ta cần chứng minh AMC = DMB và AC=BD. Vì AM=MD nên tam giác AMC và tam giác DMB là hai tam giác cân cân nhau (với cạnh đáy AM=MD). Do đó, ta có \(\angle AMC = \angle MDC\) và \(\angle MAC = \angle MDC\), từ đó suy ra \(\angle AMC = \angle DMB\). Từ \(AE=EC\) và \(AM=MD\), suy ra tam giác AEM và tam giác DEM là hai tam giác đồng dạng (có các cặp góc tương đồng). Do đó, ta có \(\frac{AM}{AE}=\frac{MD}{DE}\) hoặc \(2=\frac{MD}{DE}\) (vì AE=EC). Từ đây, suy ra MD=DE. Vậy ta đã chứng minh được rằng AMC = DMB và AC=BD. Do đó, kết quả cuối cùng là góc A: 36°.