Câu 1 : Chứng minh : a) 3!+29! không là số chính phương b) 4^n+1 không là số chính phương với mọi số tự nhiên n c)3^n+98675 không là số chính phương với mọi số tự nhiên n Câu 2 :Tìm tất cả số tự nhi...

Câu 1 a) Chứng minh 3!+29! không là số chính phương Ta có 3! = 6 và 29! = 6227020800. Cộng hai số này lại, ta được 6 + 6227020800 = 6227020806. Giả sử 6227020806 là số chính phương, khi đó nó phải có chữ số tận cùng là 6. Tuy nhiên, không có số chính phương nào có chữ số tận cùng là 6. Vậy 6227020806 không thể là số chính phương. Vậy 3!+29! không là số chính phương. b) Chứng minh 4^n+1 không là số chính phương với mọi số tự nhiên n Giả sử tồn tại số tự nhiên n sao cho 4^n+1 là số chính phương. Khi đó, gọi 4^n+1 = k^2 (với k là số tự nhiên). Ta có k^2 - 4^n = 1. Xét k lẻ, khi đó k = 2m + 1 (với m là số tự nhiên). Ta có (2m+1)^2 - 4^n = 1 <=> 4m^2 + 4m + 1 - 4^n = 1 <=> 4m^2 + 4m = 4^n <=> m^2 + m = 4^(n-1). Vế trái là một số chính phương, vế phải là một lũy thừa của 4, nhưng một số chính phương không thể bằng một lũy thừa của 4 (vì số chính phương chỉ có thể tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, nhưng lũy thừa của 4 chỉ có thể tận cùng là 0, 1, 4, 6). Vậy mâu thuẫn. Xét k chẵn, khi đó k = 2m (với m là số tự nhiên). Ta có (2m)^2 - 4^n = 1 <=> 4m^2 - 4^n = 1 <=> m^2 = 4^(n-1) + 1/4. Vế phải là một số không nguyên, nhưng một số chính phương không thể bằng một số không nguyên. Vậy mâu thuẫn. Từ hai trường hợp trên, ta thấy không tồn tại số tự nhiên n sao cho 4^n+1 là số chính phương. Vậy 4^n+1 không là số chính phương với mọi số tự nhiên n. c) Chứng minh 3^n+98675 không là số chính phương với mọi số tự nhiên n Giả sử tồn tại số tự nhiên n sao cho 3^n+98675 là số chính phương. Khi đó, gọi 3^n+98675 = k^2 (với k là số tự nhiên). Ta có k^2 - 3^n = 98675. Xét k lẻ, khi đó k = 2m + 1 (với m là số tự nhiên). Ta có (2m+1)^2 - 3^n = 98675 <=> 4m^2 + 4m + 1 - 3^n = 98675 <=> 4m^2 + 4m = 3^n + 98674. Vế trái là một số chẵn, vế phải là một số chẵn khi và chỉ khi 3^n là số chẵn. Nhưng 3^n là số lẻ với mọi số tự nhiên n, nên vế phải là một số lẻ. Vậy mâu thuẫn. Xét k chẵn, khi đó k = 2m (với m là số tự nhiên). Ta có (2m)^2 - 3^n = 98675 <=> 4m^2 - 3^n = 98675 <=> m^2 = 3^n/4 + 98675/4. Vế phải là một số không nguyên, nhưng một số chính phương không thể bằng một số không nguyên. Vậy mâu thuẫn. Từ hai trường hợp trên, ta thấy không tồn tại số tự nhiên n sao cho 3^n+98675 là số chính phương. Vậy 3^n+98675 không là số chính phương với mọi số tự nhiên n. Câu 2 Đặt $n^2 + n + 1 = m^2$ và $n^2 + 81 = k^2$ với $m, k$ là các số tự nhiên. Từ $n^2 + n + 1 = m^2$, ta có $n^2 + n + 1 - m^2 = 0$, hay $(n - m)(n + m + 1) = 0$. Suy ra $n = m$ hoặc $n = -m - 1$. Vì $n$ là số tự nhiên nên $n = m$. Từ $n^2 + 81 = k^2$, ta có $k^2 - n^2 = 81$, hay $(k - n)(k + n) = 81$. Vì $k, n$ là các số tự nhiên nên $(k - n)(k + n) = 81 = 1 \cdot 81 = 3 \cdot 27 = 9 \cdot 9$. Nếu $k - n = 1$ và $k + n = 81$, ta có $k = 41$ và $n = 40$. Nếu $k - n = 3$ và $k + n = 27$, ta có $k = 15$ và $n = 12$. Nếu $k - n = 9$ và $k + n = 9$, ta có $k = 9$ và $n = 0$. Vậy các số tự nhiên $n$ thỏa mãn bài toán là $0$, $12$, $40$. Câu 3: Giả sử tổng của 4 số chính phương liên tiếp là một số chính phương. Gọi 4 số chính phương liên tiếp là $n^2, (n+1)^2, (n+2)^2, (n+3)^2$. Tổng của 4 số chính phương liên tiếp là: \[n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + (n+3)^2 = n^2 + (n^2+2n+1) + (n^2+4n+4) + (n^2+6n+9)\] \[= 4n^2 + 12n + 16 = (2n+3)^2 + 7.\] Vế phải là một số chính phương, nhưng vế trái lại là một số chính phương cộng thêm 7. Điều này vô lý vì không có số chính phương nào có thể bằng 7. Vậy tổng của 4 số chính phương liên tiếp không thể là một số chính phương. Câu 4: Giả sử hai số chẵn liên tiếp là $2n$ và $2n+2$ (với $n$ là số nguyên). Tích của hai số này là $2n \cdot (2n+2) = 4n^2 + 4n$. Cộng thêm 1, ta được $4n^2 + 4n + 1 = (2n+1)^2$. Vì $(2n+1)^2$ là bình phương của một số nguyên nên nó là số chính phương. Vậy tích hai số chẵn liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương. Bài 5 Ta có: L = (x + y)(x + 3y) + y^2 = x^2 + 4xy + 3y^2 + y^2 = x^2 + 4xy + 4y^2 = (x + 2y)^2 Vậy L là một số chính phương. Bài 6 Để chứng minh tích hai số nguyên dương liên tiếp không phải là số chính phương, ta sẽ sử dụng phương pháp phản chứng. Giả sử tồn tại một số chính phương là tích của hai số nguyên dương liên tiếp, ký hiệu n(n+1) = k^2, trong đó n và k là các số nguyên dương. Ta có: \[k^2 = n(n+1)\] \[k^2 - n^2 = n\] \[(k-n)(k+n) = n\] Vì n và k là các số nguyên dương, nên k - n > 0 và k + n > 0. Do đó, k - n và k + n là hai số nguyên dương. Từ phương trình (k - n)(k + n) = n, ta thấy n là ước của k^2. Vì k^2 là số chính phương, nên n phải là ước chính phương của k^2. Nếu n = 1, thì k^2 = 1(1+1) = 2, vô lí vì không có số nguyên nào bình phương bằng 2. Nếu n > 1, thì n là ước chính phương của k^2 và n > 1. Khi đó, k^2/n = n + 1 > 1 + 1 = 2. Vì vậy, k^2/n > 2, suy ra k^2 > 2n. Tuy nhiên, k^2 = n(n+1) < n(n+2) vì n > 1. So sánh hai bất đẳng thức k^2 > 2n và k^2 < n(n+2), ta có: \[2n < k^2 < n(n+2)\] Điều này dẫn đến mâu thuẫn, vì nếu k^2 là một số chính phương nằm giữa 2n và n(n+2) thì nó phải bằng n(n+1), nhưng điều này không thể xảy ra. Vậy, giả thiết ban đầu là sai, tức là tích hai số nguyên dương liên tiếp không thể là số chính phương. Bài 7: Giả sử tồn tại số tự nhiên n sao cho n^2 + 2022 là số chính phương. Khi đó, tồn tại số tự nhiên k sao cho n^2 + 2022 = k^2. Ta có: k^2 - n^2 = 2022 hay (k - n)(k + n) = 2022. 2022 = 2 * 3 * 337 là tích của ba số nguyên tố. Vì k > n nên k - n < k + n nên (k - n, k + n) là một trong các cặp: (1, 2022), (2, 1011), (3, 674), (6, 337). Nếu (k - n, k + n) = (1, 2022) thì k = 1011.5, loại vì k không phải là số tự nhiên. Nếu (k - n, k + n) = (2, 1011) thì k = 506.5, loại vì k không phải là số tự nhiên. Nếu (k - n, k + n) = (3, 674) thì k = 338.5, loại vì k không phải là số tự nhiên. Nếu (k - n, k + n) = (6, 337) thì k = 171.5, loại vì k không phải là số tự nhiên. Vậy không tồn tại số tự nhiên n để n^2 + 2022 là số chính phương.