Một cửa hàng nhập vào một loại máy tính xách tay với giá 15 triệu đồng và bán ra với giá 18 triệu đồng. Với giá bán này, một tháng cửa hàng đó bán được 20 cái máy tính xách tay. Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính nếu cứ giảm giá bán mỗi máy 500000 đồng thì số máy tính bán được trong một tháng tăng thêm 5 cái. Xác định giá bán mỗi cái máy tính để lợi nhuận thu được là cao nhất.

Question

Shataki · Accepted Answer

Đổi $500000$ đồng $=0.5$ triệu đồng

Sau khi giảm $500000$ đồng thì giá mỗi máy là $18-0.5=17.5$ triệu đồng

Gọi số máy tính bán với giá $18$ triệu đồng của cửa hàng là $x$, số máy bán với giá $17.5$ triệu đồng là $y, (x,y\in N^*)$

Nếu không giảm giá máy nào thì lãi thu được là $20\cdot 3=60$ triệu

Nếu giảm giá tất cả các máy thì lãi thu được là $25\cdot 2.5=62.5$ triệu

Xét trường hợp giảm giá ít nhất $1$ máy

$ o 21\le x+y\le 24$ và $y\ge 1$

Khi bán với giá $18$ triệu thì mỗi máy lãi $18-15=3$ triệu

Khi bán với giá $17.5$ triệu thì mỗi máy lãi $17.5-15=2.5$ triệu

$ o$Số tiền lãi là $T=3x+2.5y$ và ta cần tìm $x,y$ thỏa mãn đề để $T$ đạt giá trị lớn nhất

Ta có hệ sau:

$\begin{cases}21\le x+y\le 24\y\ge 1\ ext{Tìm }T_{max}=3x+2.5y\end{cases}$

Đặt $x+y=a, a\in Z, 21\le a\le 24$

$ o \begin{cases}x+y=a\ 21\le a\le 24\y\ge 1\ ext{Tìm }T_{max}=3x+2.5y\end{cases}$

Giải

$ o \begin{cases}x+y=a\ 3x+2.5y=T\end{cases}$

$ o \begin{cases}x=2T-5a\y=6a-2T\end{cases}$

$ o \begin{cases}2T=x+5a\2T=6a-y\end{cases}$

$ o 2T\le 6\cdot 24-1=143$

$ o T\le 71.5$

Dấu = xảy ra khi: $T=71.5, a=24, y=1$

$ o \begin{cases}143=x+5\cdot24\143=6\cdot24-y\end{cases}$

$ o \begin{cases}x=23\y=1\end{cases}$

$ o$Để lợi nhuận thu được là cao nhất ta bán $23$ máy với giá $18$ triệu đồng và $1$ máy với giá $17.5$ triệu đồng

Timi · Answer

Gọi $x$ là số lần giảm giá bán (tức là số lần giảm $500000$ đồng), thì số tiền giảm là $500000x$. Giá bán mỗi máy tính lúc này là $18 - 500000x$. Số máy tính bán được là $20 + 5x$.

Lợi nhuận là doanh thu trừ chi phí, tức là $(18 - 500000x)(20 + 5x) - 15(20 + 5x)$.

Để tìm giá bán để lợi nhuận cao nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận $f(x) = (18 - 500000x)(20 + 5x) - 15(20 + 5x)$.

Bước 1: Rút gọn $f(x)$.
$$f(x) = (18 - 500000x)(20 + 5x) - 15(20 + 5x)$$
$$= 360 + 90x - 10000000x - 25000000x^2 - 300 - 75x$$
$$= -25000000x^2 + 15x + 360 - 300$$
$$= -25000000x^2 + 15x + 60.$$
Bước 2: Tìm đạo hàm $f&#x27;(x)$ và giải phương trình $f&#x27;(x) = 0$.
$$f&#x27;(x) = -50000000x + 15.$$
Giải phương trình $f&#x27;(x) = 0$:
$$-50000000x + 15 = 0 \Rightarrow x = \frac{15}{50000000} = 0.000003.$$
Bước 3: Xét dấu $f&#x27;(x)$ và kết luận.
Vì $f&#x27;(x)$ là một hàm nghịch biến (vì hệ số của $x$ âm), nên $f&#x27;(x) = 0$ tại $x = 0.000003$ là điểm cực đại của hàm số $f(x)$.

Vậy, để lợi nhuận thu được là cao nhất, cửa hàng nên giảm giá bán mỗi máy tính $500000 \times 0.000003 = 0.015$ triệu đồng, tức là bán với giá $18 - 0.015 = 17.985$ triệu đồng mỗi máy tính.

Khi đó, số máy tính bán được là $20 + 5 \times 0.000003 = 20.00015$, tức là khoảng 20 máy tính.

Vậy, giá bán mỗi cái máy tính để lợi nhuận thu được là cao nhất là $17.985$ triệu đồng.

Một cửa hàng nhập vào một loại máy tính xách tay với giá 15 triệu đồng và bán ra với giá 18 triệu đồng. Với giá bán này, một tháng cửa hàng đó bán được 20 cái máy tính xách tay. Cửa hàng dự định giảm...