CMR: Nếu p và p2+8 là số nguyên tố thì p2+2 cũng là số nguyên tố
Giúp mình với!

Question

Sơn Nguyễn Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5122746,"userName":"iuthu"}

Xét :

+) $$ p = 3k+1 $$ $$ (k\in\mathbb{N}^*) $$ thì :

$$p^2+8=\left(3k+1\right)^2+8$$

$$=9k^2+6k+9$$

$$=3\left(3k^2+2k+3)\vdots\right.3$$

⇒ $$p^2+8$$ là hợp số (loại)

+) $$p=3k+2$$ $$ (k\in\mathbb{N}^*) $$ thì :

$$p^2+8=\left(3k+2\right)^2+8$$

$$=9k^2+12k+12$$

$$=3\left(3k^2+4k+4\right)\vdots3$$

⇒ $$p^2+8$$ là hợp số (loại)

+) $$p=3k$$ $$ (k\in\mathbb{N}^*) $$

mà $$p$$ là số nguyên tố

⇒ $$p=3$$

⇒ $$ p^2+8=3^2+8=17 $$ là số nguyên tố ( thỏa mãn )

Ta có : $$p^2+2=3^2+2=11$$ là số nguyên tố

Vậy nếu $$p$$ và $$p^2+8$$ là số nguyên tố thì $$p^2+2$$ cũng là số nguyên tố

Timi · Answer

Giả sử p là số nguyên tố sao cho p và p^2 + 8 là số nguyên tố. Chúng ta cần chứng minh rằng p^2 + 2 cũng là số nguyên tố.

Ta biết rằng p là số nguyên tố, và p^2 + 8 cũng là số nguyên tố. Do đó, p phải là số lẻ (vì nếu p là số chẵn, p^2 sẽ chia hết cho 4, và p^2 + 8 sẽ chia hết cho 4, do đó p^2 + 8 không thể là số nguyên tố).

Vì p là số lẻ, nên p có thể được biểu diễn dưới dạng p = 2k + 1 (với k là số nguyên).

Bây giờ, ta xét p^2 + 2 = (2k + 1)^2 + 2 = 4k^2 + 4k + 1 + 2 = 4k^2 + 4k + 3 = 2(2k^2 + 2k + 1) + 1.

Vì 2k^2 + 2k + 1 là số nguyên, nên p^2 + 2 là số lẻ.

Nếu p^2 + 2 không phải là số nguyên tố, nó có thể được phân tích thành tích của hai số nguyên tố, nhưng điều này sẽ dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết rằng p và p^2 + 8 là các số nguyên tố.

Do đó, p^2 + 2 phải là số nguyên tố.

Vậy, nếu p và p^2 + 8 là các số nguyên tố, thì p^2 + 2 cũng là số nguyên tố.

CMR: Nếu p và p2+8 là số nguyên tố thì p2+2 cũng là số nguyên tố Giúp mình với!