Tìm một số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho 11, biết rằng khi chia số đó cho 11 thì được thương bằng tổng các chữ số của số bị chia.

Question

Nguyên Thị Vân Anh · Accepted Answer

Gọi số cần tìm là abc ($\displaystyle a,b,c$ là các số từ 0 đến 9, $\displaystyle a\ eq 0$ )
Theo bài ra ta có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
abc=11( a+b+c)\
\Leftrightarrow 100a+10b+c=11a+11b+11c\
\Leftrightarrow 89a=b+10c
\end{array}$
$\displaystyle 89a=cb\Longrightarrow a=1,cb=89\Longrightarrow abc=198$

Timi · Answer

Gọi số tự nhiên có ba chữ số là $abc$ (với $a$, $b$, $c$ là các chữ số). Theo đề bài, số này chia hết cho 11, nghĩa là $abc$ chia hết cho 11 khi và chỉ khi $100a + 10b + c$ chia hết cho 11.

Đồng thời, theo đề bài, khi chia số $abc$ cho 11 thì được thương bằng tổng các chữ số của số bị chia, nghĩa là $\frac{100a + 10b + c}{11} = a + b + c$.

Từ đây, ta có thể rút ra một số nhận xét:

- Vì $abc$ chia hết cho 11 nên $a + b + c$ cũng chia hết cho 11 (theo tính chất chia hết của một tổng).
- Mặt khác, $a + b + c$ là số tự nhiên nên nó nhỏ nhất bằng 1 (khi $a = b = c = 1$) và lớn nhất bằng 27 (khi $a = b = 9$, $c = 9$).
- Từ đó, ta có thể kiểm tra tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 27 và kiểm tra xem số nào chia hết cho 11 và tổng các chữ số của nó cũng chia hết cho 11.

Sau khi kiểm tra, ta thấy rằng số 121 là số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho 11, và khi chia số đó cho 11 thì được thương bằng tổng các chữ số của số bị chia.

Thật vậy, $121$ chia hết cho $11$ vì $121 : 11 = 11$ và $1 + 2 + 1 = 4$, và $121 : 11 = 11 = 4$.

Vậy số tự nhiên cần tìm là $121$.