S=1.5+5.9+...+97.101

Đây là tổng của các số hạng dạng $n. (n+1)$, với $n$ chạy từ 1 đến 50. Ta có thể tách mỗi số hạng này thành tổng của hai số hạng: $n. (n+1) = n^2 + n.$ Khi đó, tổng $S$ trở thành: $S = \sum_{n=1}^{50} (n^2 + n).$ Ta có thể tách tổng này thành tổng của hai tổng: $S = \sum_{n=1}^{50} n^2 + \sum_{n=1}^{50} n.$ Tổng $\sum_{n=1}^{50} n^2$ là tổng của các bình phương từ 1 đến 50, có thể tính bằng công thức: $\sum_{n=1}^{50} n^2 = \frac{50.(50+1).(2.50+1)}{6} = \frac{50.51.101}{6} = 42925.$ Tổng $\sum_{n=1}^{50} n$ là tổng của các số từ 1 đến 50, có thể tính bằng công thức: $\sum_{n=1}^{50} n = \frac{50.(50+1)}{2} = \frac{50.51}{2} = 1275.$ Do đó, tổng $S$ là: $S = 42925 + 1275 = 44200.$ Vậy, $S = 44200$.