CMR căn bậc hai của 1/3 là số vô tỉ

Căn bậc hai của \(\frac{1}{3}\) là một số vô tỉ. Để chứng minh điều này, ta có thể làm như sau: 1. **Giả sử căn bậc hai của \(\frac{1}{3}\) là một số hữu tỉ:** Giả sử \(\sqrt{\frac{1}{3}}\) là một số hữu tỉ. Khi đó, \(\sqrt{\frac{1}{3}}\) có thể được viết dưới dạng \(\frac{a}{b}\), trong đó \(a\) và \(b\) là các số nguyên và \(b \neq 0\), đồng thời \(\frac{a}{b}\) đã được rút gọn đến dạng tối giản (tức là \(a\) và \(b\) không có ước số chung nào khác ngoài 1). 2. **Bình phương cả hai vế:** \[ \left(\sqrt{\frac{1}{3}}\right)^2 = \left(\frac{a}{b}\right)^2 \] Ta có: \[ \frac{1}{3} = \frac{a^2}{b^2} \] 3. **Giải phương trình này:** Ta nhân cả hai vế của phương trình với \(b^2\): \[ b^2 \cdot \frac{1}{3} = a^2 \implies \frac{b^2}{3} = a^2 \implies b^2 = 3a^2 \] Phương trình \(b^2 = 3a^2\) cho thấy rằng \(b^2\) phải chia hết cho 3, do đó \(b\) cũng phải chia hết cho 3 (vì nếu một số bình phương chia hết cho một số nguyên tố thì chính nó cũng chia hết cho số nguyên tố đó). Giả sử \(b = 3k\) (với \(k\) là một số nguyên), ta thay vào phương trình: \[ (3k)^2 = 3a^2 \implies 9k^2 = 3a^2 \implies 3k^2 = a^2 \] Phương trình \(a^2 = 3k^2\) cho thấy rằng \(a^2\) cũng phải chia hết cho 3, do đó \(a\) cũng phải chia hết cho 3. 4. **Điều này dẫn đến mâu thuẫn:** Nếu \(a\) và \(b\) đều chia hết cho 3, thì \(\frac{a}{b}\) không phải là dạng tối giản, điều này mâu thuẫn với giả định ban đầu rằng \(\frac{a}{b}\) đã được rút gọn đến dạng tối giản. Do đó, căn bậc hai của \(\frac{1}{3}\) không thể là một số hữu tỉ. Vì vậy, căn bậc hai của \(\frac{1}{3}\) là một số vô tỉ.