1/1.3 + 1/3.5 +1/5:7+........1/99.101

Để giải bài toán này, chúng ta cần tính giá trị của biểu thức: $ \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} + \frac{1}{99.101} $ Chúng ta có thể thấy rằng mỗi số hạng trong tổng trên đều có dạng $\frac{1}{n(n+2)}$ với $n$ là một số tự nhiên lẻ. Ta có thể biến đổi mỗi số hạng như sau: $ \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right) $ Áp dụng biến đổi này cho mỗi số hạng trong tổng, ta được: $ \frac{1}{1.3} = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{3} \right) $ $ \frac{1}{3.5} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) $ $ \frac{1}{5.7} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) $ $ \frac{1}{99.101} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{99} - \frac{1}{101} \right) $ Khi cộng tất cả các số hạng lại, ta thấy các số hạng $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{7}$, ..., $\frac{1}{99}$ đều triệt tiêu nhau. Do đó, tổng của tất cả các số hạng là: $ \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots + \frac{1}{99} - \frac{1}{101} \right) $ $ = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{101} \right) $ $ = \frac{1}{2} \cdot \frac{100}{101} $ $ = \frac{50}{101} $ Vậy, giá trị của biểu thức đã cho là $\frac{50}{101}$.