giải giúp mình với $b)~\frac{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}{1+2\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{ an\alpha-1}{ an\alpha+1}.$

Question

giải giúp mình với $b)~\frac{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}{1+2\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{	an\alpha-1}{	an\alpha+1}.$

le-thiai-thao · Accepted Answer

$\displaystyle b,\ \frac{sin^{2} \alpha -cos^{2} \alpha }{1+2sin\alpha cos\alpha } =\frac{( sin\alpha +cos\alpha )( sin\alpha -cos\alpha )}{cos^{2} \alpha +sin^{2} \alpha +2sin\alpha cos\alpha }$
$\displaystyle =\frac{( sin\alpha +cos\alpha )( sin\alpha -cos\alpha )}{( sin\alpha +cos\alpha )^{2}}$
$\displaystyle =\frac{sin\alpha -cos\alpha }{sin\alpha +cos\alpha } =\frac{\frac{sin\alpha }{cos\alpha } -1}{\frac{sin\alpha }{cos\alpha } +1} =\frac{tan\alpha -1}{tan\alpha +1}$

Timi · Answer

Đầu tiên, chúng ta cần nhớ rằng $	an\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ và $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Bây giờ, hãy xem xét vế trái của phương trình:

$$\frac{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}{1+2\sin\alpha\cos\alpha}.$$

Chúng ta có thể viết lại tử số như sau: $\sin^2\alpha - \cos^2\alpha = -\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = -( \cos^2\alpha - \sin^2\alpha) = -\cos 2\alpha$.

Và mẫu số có thể được viết lại như sau: $1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 + \sin 2\alpha$.

Do đó, vế trái của phương trình trở thành:

$$\frac{-\cos 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha}.$$

Bây giờ, hãy xem xét vế phải của phương trình:

$$\frac{	an\alpha-1}{	an\alpha+1} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-1}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+1} = \frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha}.$$

Nhân tử và mẫu của vế phải với $\cos\alpha$, chúng ta nhận được:

$$\frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} \cdot \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha\cos\alpha - \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha} = \frac{\sin 2\alpha - \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha + \cos 2\alpha}.$$

So sánh vế trái và vế phải, chúng ta thấy rằng chúng bằng nhau. Do đó, phương trình được chứng minh.