CMR với mọi số tự nhiên n thì 4^2n-3^2n-7 chia hết cho 168

Đầu tiên, ta có thể phân tích số 168 thành tích các số nguyên tố: $168 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7$. Ta cần chứng minh rằng $4^{2n} - 3^{2n} - 7$ chia hết cho 168 với mọi số tự nhiên $n$. Ta có thể viết lại biểu thức $4^{2n} - 3^{2n} - 7$ như sau: $4^{2n} - 3^{2n} - 7 = (2^2)^{2n} - 3^{2n} - 7 = 2^{4n} - 3^{2n} - 7.$ Ta thấy rằng $2^{4n}$ luôn chia hết cho $2^3 = 8$, vì $2^{4n} = (2^4)^n$ mà $2^4 = 16$ chia hết cho $8$. Tương tự, $3^{2n}$ luôn chia hết cho $3$, vì $3^{2n} = (3^2)^n$ mà $3^2 = 9$ chia hết cho $3$. Vậy $2^{4n} - 3^{2n}$ luôn chia hết cho $8$ và $3$. Mặt khác, $7$ chia hết cho $7$. Do đó, $2^{4n} - 3^{2n} - 7$ luôn chia hết cho $8$, $3$ và $7$. Vì $8$, $3$ và $7$ là các số nguyên tố cùng nhau (tức là chúng không có ước chung nào khác $1$), nên $2^{4n} - 3^{2n} - 7$ luôn chia hết cho tích của chúng, tức là chia hết cho $168$. Vậy với mọi số tự nhiên $n$, $4^{2n} - 3^{2n} - 7$ chia hết cho $168$.