các b làm giúp e với ạ

Câu 3: a) $~-\frac{29\pi}7$ là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho Để kiểm tra xem $~-\frac{29\pi}7$ có phải là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho hay không, ta cần chứng minh rằng $~-\frac{29\pi}7$ và $~-\frac\pi7$ chênh lệch nhau một số nguyên lần $2\pi$. Thật vậy, ta có: $-\frac{29\pi}7 - \left(-\frac\pi7\right) = -\frac{28\pi}7 = -4\pi.$ Rõ ràng, $~-4\pi$ là một số nguyên lần $2\pi$, do đó $~-\frac{29\pi}7$ và $~-\frac\pi7$ là hai số đo của cùng một góc lượng giác. Vậy câu a) đúng. b) $~-\frac{22}7$ là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho Để kiểm tra xem $~-\frac{22}7$ có phải là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho hay không, ta cần chứng minh rằng $~-\frac{22}7$ và $~-\frac\pi7$ chênh lệch nhau một số nguyên lần $2\pi$. Thật vậy, ta có: $-\frac{22}7 - \left(-\frac\pi7\right) = -\frac{22\pi}7 + \frac\pi7 = -\frac{21\pi}7 = -3\pi.$ Rõ ràng, $~-3\pi$ không phải là một số nguyên lần $2\pi$, do đó $~-\frac{22}7$ và $~-\frac\pi7$ không phải là hai số đo của cùng một góc lượng giác. Vậy câu b) sai. c) $~\frac{6\pi}7$ là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho Để kiểm tra xem $~\frac{6\pi}7$ có phải là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho hay không, ta cần chứng minh rằng $~\frac{6\pi}7$ và $~-\frac\pi7$ chênh lệch nhau một số nguyên lần $2\pi$. Thật vậy, ta có: $\frac{6\pi}7 - \left(-\frac\pi7\right) = \frac{6\pi}7 + \frac\pi7 = \frac{7\pi}7 = \pi.$ Rõ ràng, $\pi$ là một số nguyên lần $2\pi$, do đó $~\frac{6\pi}7$ và $~-\frac\pi7$ là hai số đo của cùng một góc lượng giác. Vậy câu c) đúng. d) $~\frac{41\pi}7$ là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho. Để kiểm tra xem $~\frac{41\pi}7$ có phải là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho hay không, ta cần chứng minh rằng $~\frac{41\pi}7$ và $~-\frac\pi7$ chênh lệch nhau một số nguyên lần $2\pi$. Thật vậy, ta có: $\frac{41\pi}7 - \left(-\frac\pi7\right) = \frac{41\pi}7 + \frac\pi7 = \frac{42\pi}7 = 6\pi.$ Rõ ràng, $6\pi$ là một số nguyên lần $2\pi$, do đó $~\frac{41\pi}7$ và $~-\frac\pi7$ là hai số đo của cùng một góc lượng giác. Vậy câu d) đúng. Vậy các câu a), c) và d) đúng. Câu 4: a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình $1+\sin2x=3+\cos6x$ Ta có: \[(\sin x+\cos x)^2=2\cos^23x\] \[\sin^2x+2\sin x\cos x+\cos^2x=2(4\cos^3x-3\cos x)\] \[1+\sin2x=8\cos^3x-6\cos x\] \[1+\sin2x=3+4\cos^2x-6\cos x\] \[1+\sin2x=3+\cos6x\] Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình $1+\sin2x=3+\cos6x$. b) Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình lớn hơn $\frac\pi7$ Giải phương trình $1+\sin2x=3+\cos6x$ \[\sin2x-\cos6x=2\] \[\sin2x-\cos(2x+4x)=2\] \[\sin2x-\cos2x\cos4x+\sin2x\sin4x=2\] \[\sin2x-(\cos^22x-\sin^22x)+\sin2x\sin4x=2\] \[\sin2x-(1-\sin^22x)-\sin2x\sin4x=2\] \[\sin2x-\sin^22x-\sin2x\sin4x=1\] \[\sin2x(1-\sin2x)-\sin2x\sin4x=1\] \[\sin2x\cos2x-\sin2x\sin4x=1\] \[\sin2x(\cos2x-\sin4x)=1\] \[\sin2x(\cos2x-\sin2x\cos2x)=1\] \[\sin2x(\cos2x(1-\sin2x))=1\] \[\sin2x\cos2x\cos2x(1-\sin2x)=1\] \[\sin2x\cos^22x(1-\sin2x)=1\] \[\frac{\sin2x}{2}\cdot2\cos^22x(1-\sin2x)=1\] \[\frac{\sin2x}{2}\cdot(1+\cos4x)(1-\sin2x)=1\] \[\frac{\sin2x}{2}\cdot(1-\sin^22x)=1\] \[\frac{\sin2x}{2}\cdot\cos2x=1\] \[\sin2x\cos2x=2\] \[\frac{\sin4x}{2}=1\] \[\sin4x=2\] \[\sin4x=\sin\frac\pi6\] \[4x=\frac\pi6+k2\pi\] hoặc \[4x=\pi-\frac\pi6+k2\pi\] \[4x=\frac\pi6+k2\pi\] hoặc \[4x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi\] \[x=\frac\pi{24}+\frac{k\pi}{2}\] hoặc \[x=\frac{5\pi}{24}+\frac{k\pi}{4}\] Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là $x=\frac\pi{24}$. Ta thấy $\frac\pi{24}< \frac\pi7$, nên nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình không lớn hơn $\frac\pi7$. c) Nghiệm âm lớn nhất của phương trình là $x=-\frac\pi8$ Từ các nghiệm tìm được ở trên, ta thấy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là $x=-\frac{5\pi}{24}$. d) Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất bằng 0. Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là: \[-\frac{5\pi}{24}+\frac\pi{24}=0\] Vậy câu trả lời đúng là: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng Câu 1: Đẳng thức $\sqrt{\frac12+\frac12\sqrt{\frac12+\frac12\sqrt{\frac12++\frac12\cos x}}=\cos\frac xn$ đúng với mọi $0< x< \frac{\pi}{2}$. Khi $x=\frac{\pi}{2}$, ta có $\cos\frac{\pi}{2}n=0$. Suy ra $\sqrt{\frac12+\frac12\sqrt{\frac12+\frac12\sqrt{\frac12++\frac12\cos \frac{\pi}{2}}}}=0$. Do $\cos \frac{\pi}{2}=0$, nên ta có $\sqrt{\frac12+\frac12\sqrt{\frac12+\frac12\sqrt{\frac12++\frac12\cdot 0}}}=0$. Từ đây, ta thấy rằng dãy căn bậc hai phải có độ dài là 2, tức là $n=2$. Vậy giá trị của $n$ là 2. Câu 2: Đầu tiên, chúng ta cần nhớ công thức sin của tổng hai góc: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$. Chúng ta đã biết $\sin\alpha = \frac{1}{3}$ và $\cos\beta = -\frac{2}{3}$. Còn $\cos\alpha$ và $\sin\beta$ thì chưa biết. Nhưng chúng ta có thể tìm được chúng bằng cách sử dụng công thức $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$. Với $\alpha$, ta có $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$. Vì $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, nên $\cos\alpha = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Với $\beta$, ta có $\sin^2\beta = 1 - \cos^2\beta = 1 - \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$. Vì $\pi > \beta > \frac{\pi}{2}$, nên $\sin\beta = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$. Bây giờ, chúng ta có thể tính $\sin(\alpha + \beta)$: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{3} \cdot -\frac{2}{3} + -\frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = -\frac{2}{9} - \frac{2\sqrt{10}}{9} = -\frac{2 + 2\sqrt{10}}{9}$. Vậy, $\sin(\alpha + \beta) = -\frac{2 + 2\sqrt{10}}{9}$. Câu 3: Ta có: $f(x) = \sin^4x + \cos^7x = (1 - \cos^2x)^2 + \cos^7x = 1 - 2\cos^2x + \cos^4x + \cos^7x.$ Xét hàm số $g(t) = t^4 - 2t^2 + 1$ với $t = \cos x$. Hàm số này liên tục trên $[-1, 1]$. Tính đạo hàm của $g(t)$: $g'(t) = 4t^3 - 4t = 4t(t^2 - 1).$ Cho $g'(t) = 0$ ta được $t = 0$ hoặc $t = \pm 1$. Tính $g(t)$ tại các điểm $t = -1, 0, 1$: $g(-1) = 1 + 2 + 1 = 4,$ $g(0) = 1,$ $g(1) = 1 - 2 + 1 = 0.$ Vậy giá trị lớn nhất của $g(t)$ trên $[-1, 1]$ là $4$. Do đó, giá trị lớn nhất của $f(x)$ là $4$. Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $\sin^4x + \cos^7x$ là $4$. Câu 4: Đầu tiên, chúng ta cần đảm bảo rằng $\sin\frac\alpha2=\sqrt{\frac{x-1}{2x}}$ có nghĩa. Điều này xảy ra khi và chỉ khi $\frac{x-1}{2x} \geq 0$. Giải bất phương trình này, ta được $x > 1$. Bây giờ, hãy nhớ rằng $\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$. Do đó, $\cos 2\frac\alpha2 = 1 - 2\sin^2\frac\alpha2 = 1 - 2\left(\frac{x-1}{2x}\right) = \frac{1}{x}$. Vì $a$ là góc nhọn, nên $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, và do đó $0 < 2\alpha < \pi$. Trong khoảng này, $\cos 2\alpha$ là dương. Vì vậy, chúng ta có thể áp dụng công thức $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$ để tìm $\sin\alpha$. Ta có $\sin\alpha = \sqrt{\frac{1 - \cos 2\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{x}}{2}} = \sqrt{\frac{x-1}{2x}}$. Cuối cùng, chúng ta có thể tìm $\tan\alpha$ bằng cách sử dụng công thức $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Vì $a$ là góc nhọn, nên $\cos\alpha$ cũng dương. Do đó, ta có thể chia cả tử và mẫu của $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ cho $\cos\alpha$, và được $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\sqrt{\frac{x-1}{2x}}}{\sqrt{1 - \frac{1}{x}}} = \sqrt{\frac{\frac{x-1}{2x}}{\frac{x-1}{x}}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Vậy, $\tan\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Câu 5: Đầu tiên, ta cần nhớ lại các công thức lượng giác cơ bản sau: 1. $\sin^2x + \cos^2x = 1$ 2. $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ 3. $\tan^2x = \frac{\sin^2x}{\cos^2x}$ Bây giờ, ta sẽ thay thế các công thức này vào biểu thức đã cho: $\sin^2x.\tan x+4\sin^2x-\tan^2x+3\cos^2x$ $= \sin^2x.\frac{\sin x}{\cos x} + 4\sin^2x - \frac{\sin^2x}{\cos^2x} + 3\cos^2x$ $= \frac{\sin^3x}{\cos x} + 4\sin^2x - \frac{\sin^2x}{\cos^2x} + 3\cos^2x$ Ta có thể nhóm các số hạng có chứa $\sin x$ và $\cos x$ lại với nhau: $= \frac{\sin^3x}{\cos x} - \frac{\sin^2x}{\cos^2x} + 4\sin^2x + 3\cos^2x$ $= \frac{\sin^3x - \sin^2x}{\cos x} + 4\sin^2x + 3\cos^2x$ $= \frac{\sin^2x(\sin x - 1)}{\cos x} + 4\sin^2x + 3\cos^2x$ Ta có $\sin^2x + \cos^2x = 1$, nên $4\sin^2x + 4\cos^2x = 4$. Do đó, biểu thức trở thành: $= \frac{\sin^2x(\sin x - 1)}{\cos x} + 4 - 3\cos^2x$ $= \frac{\sin^2x(\sin x - 1)}{\cos x} + 4 - 3(1 - \sin^2x)$ $= \frac{\sin^2x(\sin x - 1)}{\cos x} + 4 - 3 + 3\sin^2x$ $= \frac{\sin^2x(\sin x - 1)}{\cos x} + 1 + 3\sin^2x$ Vì $\sin^2x \leq 1$ và $\sin x - 1 \leq 0$ nên $\sin^2x(\sin x - 1) \leq 0$. Do đó, biểu thức nhỏ hơn hoặc bằng $1 + 3\sin^2x \leq 1 + 3 = 4$. Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là $4$. Tuy nhiên, ta cần kiểm tra xem khi nào biểu thức đạt giá trị $4$. Thật vậy, khi $\sin x = 1$ thì $\sin^2x = 1$, $\sin x - 1 = 0$, $\cos x = 0$, $\cos^2x = 1$. Khi đó, biểu thức trở thành: $= \frac{0}{0} + 4 - 3\cdot 1 = 1$ Điều này vô lý vì biểu thức không thể bằng $1$. Khi $\sin x = 0$ thì $\sin^2x = 0$, $\sin x - 1 = -1$, $\cos x = \pm 1$, $\cos^2x = 1$. Khi đó, biểu thức trở thành: $= \frac{-1}{\pm 1} + 4 - 3 = 1$ Điều này cũng vô lý vì biểu thức không thể bằng $1$. Khi $\cos x = 0$ thì $\tan x$ không xác định, vì vậy không thể xảy ra trường hợp này. Khi $\cos x = \pm 1$ thì $\tan x = \pm 1$, $\sin x = \pm 1$, $\sin^2x = 1$, $\cos^2x = 1$. Khi đó, biểu thức trở thành: $= \frac{\pm 1}{\pm 1} + 4 - 3\cdot 1 = 2$ Điều này cũng vô lý vì biểu thức không thể bằng $2$. Vậy, ta không thể tìm được giá trị nào của $\sin x$ và $\cos x$ để biểu thức đạt giá trị $4$. Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức là $4$. Vậy, giá trị của biểu thức $\sin^2x.\tan x+4\sin^2x-\tan^2x+3\cos^2x$ là $4$. Câu 6: Định luật khúc xạ ánh sáng được viết lại như sau: $\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{n_2}{n_1}.$ Cho biết góc tới $i = 50^\circ$, chiết suất của không khí $n_1 = 1$, chiết suất của nước $n_2 = 1,33$. Ta có thể tính góc khúc xạ $r$ như sau: $\sin r = \frac{n_1}{n_2} \sin i = \frac{1}{1,33} \sin 50^\circ.$ Sử dụng máy tính bỏ túi, ta tính được: $\sin r \approx 0,5736.$ Sử dụng hàm sin ngược (arcsin) để tìm góc $r$: $r = \arcsin 0,5736 \approx 35,01^\circ.$ Vậy góc khúc xạ $r$ xấp xỉ bằng $35,01^\circ$. Câu 1: Điều kiện xác định của hàm số $y=\frac{\cos x}{\sin x-1}$ là $\sin x - 1 \neq 0$. Giải phương trình $\sin x - 1 \neq 0$ ta được $\sin x \neq 1$. Điều này xảy ra khi $x \neq k2\pi$ với mọi số nguyên $k$. Vậy tập xác định của hàm số là $D = R \setminus \{k2\pi, k \in Z\}$. Đáp án: $D = R \setminus \{k2\pi, k \in Z\}$.