Hãy giúp tôi

Câu 1. Đầu tiên, tập hợp $A\cap B$ chứa đúng một phần tử có nghĩa là tồn tại một số thực $x$ sao cho $x \in A$ và $x \in B$, và không tồn tại số thực $y$ khác $x$ sao cho $y \in A$ và $y \in B$. Tập hợp $A$ là khoảng $[2m-1; 2m+3)$, tập hợp $B$ là khoảng $(-7; 2)$. Để tồn tại số thực $x$ sao cho $x \in A$ và $x \in B$, thì khoảng $(2m-1; 2m+3)$ phải có giao khác rỗng với khoảng $(-7; 2)$. Điều này xảy ra khi và chỉ khi: $2m - 1 < 2 \quad \text{và} \quad 2m + 3 > -7.$ Giải các bất phương trình này, ta được: $2m - 1 < 2 \quad \Rightarrow \quad 2m < 3 \quad \Rightarrow \quad m < \frac{3}{2},$ $2m + 3 > -7 \quad \Rightarrow \quad 2m > -10 \quad \Rightarrow \quad m > -5.$ Vậy, điều kiện cần là $m$ phải thỏa mãn $-5 < m < \frac{3}{2}$. Tiếp theo, để không tồn tại số thực $y$ khác $x$ sao cho $y \in A$ và $y \in B$, thì khoảng $(2m-1; 2m+3)$ phải không chứa khoảng $(-7; 2)$. Điều này xảy ra khi và chỉ khi một trong các điều kiện sau xảy ra: 1. Khoảng $(2m-1; 2m+3)$ nằm hoàn toàn bên trái khoảng $(-7; 2)$. Điều này xảy ra khi và chỉ khi $2m + 3 \leq -7$, hay $2m \leq -10$, hay $m \leq -5$. 2. Khoảng $(2m-1; 2m+3)$ nằm hoàn toàn bên phải khoảng $(-7; 2)$. Điều này xảy ra khi và chỉ khi $2m - 1 \geq 2$, hay $2m \geq 3$, hay $m \geq \frac{3}{2}$. Tóm lại, điều kiện đủ là $m$ phải thỏa mãn $m \leq -5$ hoặc $m \geq \frac{3}{2}$. Kết hợp các điều kiện cần và đủ, ta thấy $m$ phải thỏa mãn $-5 < m < -5$ hoặc $\frac{3}{2} < m < \frac{3}{2}$. Điều này vô lý. Tuy nhiên, ta còn một điều kiện bỏ qua: khi khoảng $(2m-1; 2m+3)$ chỉ có một điểm chung với khoảng $(-7; 2)$. Điều này xảy ra khi và chỉ khi một trong các đầu mút của khoảng $(2m-1; 2m+3)$ nằm trong khoảng $(-7; 2)$. - Nếu $2m - 1 = 2$, thì $2m = 3$, hay $m = \frac{3}{2}$. - Nếu $2m + 3 = -7$, thì $2m = -10$, hay $m = -5$. Vậy, các giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m = -5$ hoặc $m = \frac{3}{2}$. Vậy, tập hợp $A\cap B$ chứa đúng một phần tử khi và chỉ khi $m = -5$ hoặc $m = \frac{3}{2}$. Câu 2. Điều kiện để $A\subset B$ là: \[m - 3 \ge -3 \quad \text{và} \quad m + 2 \le 5.\] Giải các bất phương trình này, ta được: \[m - 3 \ge -3 \quad \Rightarrow \quad m \ge 0.\] \[m + 2 \le 5 \quad \Rightarrow \quad m \le 3.\] Kết hợp hai điều kiện trên, ta được: \[0 \le m \le 3.\] Vậy giá trị của $m$ thỏa mãn $A\subset B$ là $0 \le m \le 3$. Câu 3. Để $A\cap B$ khác tập rỗng, thì tập hợp $A$ phải có giao với tập hợp $B$. Tập hợp $A$ là $[m-3;m+2]$ và tập hợp $B$ là $(-3;5)$. Để $A\cap B$ khác tập rỗng, thì cận trái của $A$ (đó là $m-3$) phải nhỏ hơn cận phải của $B$ (đó là $5$), và cận phải của $A$ (đó là $m+2$) phải lớn hơn cận trái của $B$ (đó là $-3$). Từ đó, ta có hệ bất phương trình: $\begin{cases} m-3 < 5 \\ m+2 > -3 \end{cases}$ Giải hệ bất phương trình này, ta được: $\begin{cases} m < 8 \\ m > -5 \end{cases}$ Kết hợp các điều kiện này, ta được $-5 < m < 8$. Vậy, tất cả các giá trị của $m$ thỏa mãn $-5 < m < 8$ thì $A\cap B$ khác tập rỗng. Câu 4. Số ngày có mưa là 14, số ngày có sương mù là 15, trong đó có 10 ngày có cả mưa và sương mù. Nếu tính tổng số ngày có mưa và sương mù, ta sẽ đếm hai lần 10 ngày có cả mưa và sương mù. Vậy tổng số ngày có mưa hoặc sương mù là 14 + 15 - 10 = 19 ngày. Tháng 3 có 31 ngày, nên số ngày không có mưa và không có sương mù là 31 - 19 = 12 ngày. Câu 5. Đầu tiên, tính tổng số học sinh chọn ít nhất một nhóm ngành: - Số học sinh chọn nhóm ngành Giáo dục: 6 - Số học sinh chọn nhóm ngành Y tế: 9 - Số học sinh chọn nhóm ngành Công nghệ thông tin: 10 - Số học sinh không chọn nhóm ngành nào: 22 Tổng số học sinh chọn ít nhất một nhóm ngành là: 6 + 9 + 10 + 22 = 47. Số học sinh chọn hai nhóm ngành: - Số học sinh chọn hai nhóm ngành Giáo dục và Y tế: 3 - Số học sinh chọn hai nhóm ngành Y tế và Công nghệ thông tin: 2 - Số học sinh chọn hai nhóm ngành Giáo dục và Công nghệ thông tin: 3 Tổng số học sinh chọn hai nhóm ngành là: 3 + 2 + 3 = 8. Số học sinh chọn cả ba nhóm ngành là: Tổng số học sinh chọn ít nhất một nhóm ngành - Tổng số học sinh chọn hai nhóm ngành = 47 - 8 = 39. Nhưng số học sinh chọn cả ba nhóm ngành không thể lớn hơn số học sinh của lớp 10D, nên số học sinh chọn cả ba nhóm ngành là 0. Vậy số học sinh chọn cả ba nhóm ngành là 0. Câu 6. Để $A\cup B=A$, thì tập hợp $B$ phải là tập con của tập hợp $A$. Tập hợp $A=[-4;1]$ và $B=[-3;m]$. Để $B$ là tập con của $A$, tất cả các phần tử của $B$ phải thuộc $A$. Điều này có nghĩa là giá trị lớn nhất của $B$, tức là $m$, phải nhỏ hơn hoặc bằng giá trị lớn nhất của $A$, tức là $1$. Và giá trị nhỏ nhất của $B$, tức là $-3$, phải lớn hơn hoặc bằng giá trị nhỏ nhất của $A$, tức là $-4$. Từ đó, ta có: $-4 \leq -3$ và $m \leq 1$. Vì $-4 \leq -3$ luôn đúng, nên chúng ta chỉ cần tìm điều kiện của $m$. Vậy, $m \leq 1$. Do đó, giá trị của $m$ cần tìm là $m \leq 1$. Câu 7. Để $A\subset B$, ta cần có hai điều kiện: 1) Giá trị lớn nhất của tập $A$ phải nhỏ hơn hoặc bằng giá trị nhỏ nhất của tập $B$. Tức là: $-\infty/m \leq 3m-1.$ 2) Giá trị lớn nhất của tập $A$ phải nhỏ hơn hoặc bằng giá trị lớn nhất của tập $B$. Tức là: $-\infty/m \leq 3m+3.$ Giải điều kiện thứ nhất: $-\infty/m \leq 3m-1.$ $\Rightarrow m \geq \frac{1}{3}.$ Giải điều kiện thứ hai: $-\infty/m \leq 3m+3.$ $\Rightarrow m \geq -\frac{3}{4}.$ Kết hợp hai điều kiện trên, ta có: $m \geq \frac{1}{3}.$ Vậy để $A\subset B$, ta cần có $m \geq \frac{1}{3}$. Câu 8. Đầu tiên, chúng ta cần tìm tất cả các số nguyên $x$ sao cho $|x^2 + 1| \leq 2$. Ta có: \[-2 \leq x^2 + 1 \leq 2.\] Từ đây, chúng ta có hai bất phương trình: \[x^2 + 1 \geq -2 \Rightarrow x^2 \geq -3 \Rightarrow x^2 \geq 0 \Rightarrow x \geq - \sqrt{3} \text{ hoặc } x \leq - \sqrt{3}.\] \[x^2 + 1 \leq 2 \Rightarrow x^2 \leq 1 \Rightarrow -1 \leq x \leq 1.\] Kết hợp hai điều kiện trên, ta được: $-1 \leq x \leq 1$. Vì $x$ là số nguyên, nên $x$ chỉ có thể là $-1, 0, 1$. Vậy tập hợp $B = \{-1, 0, 1\}$. Bây giờ, chúng ta cần tìm tất cả các tập con gồm 2 phần tử của $B$. Các tập con gồm 2 phần tử của $B$ là: $\{-1, 0\}, \{-1, 1\}, \{0, 1\}$. Vậy, tập hợp $B$ có 3 tập con gồm 2 phần tử. Câu 9. Để $A\subset B$, tập hợp $A$ phải nằm hoàn toàn trong tập hợp $B$. Điều này xảy ra khi và chỉ khi các điều kiện sau được thỏa mãn: 1. Giới hạn bên trái của $A$ phải nhỏ hơn hoặc bằng giới hạn bên phải của $B$. Tức là: $m - 3 \leq -2.$ 2. Giới hạn bên phải của $A$ phải nhỏ hơn hoặc bằng giới hạn bên trái của $B$. Tức là: $m + 2 \leq 5.$ Giải các bất phương trình trên, ta được: 1. $m - 3 \leq -2 \Rightarrow m \leq 1$. 2. $m + 2 \leq 5 \Rightarrow m \leq 3$. Kết hợp hai điều kiện trên, ta được: $m \leq 1.$ Vậy điều kiện của $m$ để $A\subset B$ là $m \leq 1$. Câu 10. Để $A\subset B$, ta cần có: \[m - 1 \ge -2 \quad \text{và} \quad 2m + 1 < 3.\] Giải các bất phương trình này, ta được: \[m - 1 \ge -2 \quad \Rightarrow \quad m \ge -1.\] \[2m + 1 < 3 \quad \Rightarrow \quad 2m < 2 \quad \Rightarrow \quad m < 1.\] Kết hợp hai điều kiện trên, ta có: $-1 \le m < 1$. Vì $m$ nguyên, nên các giá trị nguyên của $m$ là $-1$ và $0$. Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn $A\subset B$. Câu 11. Để $A\subset B$, tất cả các phần tử của tập $A$ đều phải là phần tử của tập $B$. Tập $A$ là khoảng $(2m-7; m-5]$ và tập $B$ là đoạn $[-3;1]$. Điều kiện để $A\subset B$ là: - Giá trị lớn nhất của $A$ phải nhỏ hơn hoặc bằng giá trị nhỏ nhất của $B$. - Giá trị lớn nhất của $A$ là $m - 5$. - Giá trị nhỏ nhất của $B$ là $-3$. Nên ta có: $m - 5 \leq -3$. Giải bất phương trình này, ta được: $m - 5 \leq -3 \Rightarrow m \leq 2$. - Giá trị nhỏ nhất của $A$ phải lớn hơn hoặc bằng giá trị lớn nhất của $B$. - Giá trị nhỏ nhất của $A$ là $2m - 7$. - Giá trị lớn nhất của $B$ là $1$. Nên ta có: $2m - 7 \geq 1$. $2m - 7 \geq 1 \Rightarrow 2m \geq 8 \Rightarrow m \geq 4$. Kết hợp hai điều kiện trên, ta có: $4 \leq m \leq 2$. Nhưng điều này vô lý, vì không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện này. Tuy nhiên, ta đã bỏ qua một điều kiện rất quan trọng: điều kiện để các khoảng $(2m-7; m-5]$ và $[-3;1]$ giao nhau. Điều kiện để hai khoảng giao nhau là: - Giá trị lớn nhất của khoảng này phải nhỏ hơn giá trị nhỏ nhất của khoảng kia. - Giá trị lớn nhất của khoảng $(2m-7; m-5]$ là $m - 5$. - Giá trị nhỏ nhất của khoảng $[-3;1]$ là $-3$. Nên ta có: $m - 5 < -3 \Rightarrow m < 2$. Kết hợp với điều kiện $4 \leq m \leq 2$, ta thấy rằng không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn cả ba điều kiện này. Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu 12. Điều kiện để $A\subset B$ là: $\begin{cases} m+1 \geq 0 \\ 2m-1 \leq 6 \end{cases}$ Giải các bất phương trình trên, ta được: $\begin{cases} m \geq -1 \\ m \leq \frac{7}{2} \end{cases}$ Kết hợp các điều kiện này, ta được: $-1 \leq m \leq \frac{7}{2}$. Vì $m$ nguyên, nên các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là $-1, 0, 1, 2, 3$. Vậy có 5 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn $A\subset B$. Câu 13. Đầu tiên, ta giải phương trình $x^2-4x+3=0$. Phương trình này có thể phân tích thành $(x-1)(x-3)=0$. Từ đó, ta tìm được nghiệm $x=1$ hoặc $x=3$. Vậy tập hợp A là $A=\{1,3\}$. Tiếp theo, ta xác định tập hợp B. B là tập hợp các số nguyên có giá trị tuyệt đổi nhỏ hơn 4. Các số nguyên có giá trị tuyệt đổi nhỏ hơn 4 là $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$. Vậy tập hợp B là $B=\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$. Cuối cùng, ta xác định tập hợp A\B. A\B là tập hợp các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B. So sánh A và B, ta thấy không có phần tử nào của A thuộc B. Vậy tập hợp A\B là $A\B=\{1,3\}$.