Giải giùm tui bài dưới 2.5. Một chất điểm dao động theo quy luật: $x=t,~y=\sin t^2~(x,~y:~cm;t:~s).$,Tìm: a) Trị số vận tốc và gia tốc của chất điểm lúc nó cắt trục Ox lần thứ nhất kể từ lúc bắt,đầu chuyển động;,b) Trị số vận tốc của chất điểm tạiivịịtrr cao nhấấ ủủanóó rên quu đạ..

Question

Giải giùm tui bài dưới 2.5. Một chất điểm dao động theo quy luật: $x=t,~y=\sin t^2~(x,~y:~cm;t:~s).$,Tìm: a) Trị số vận tốc và gia tốc của chất điểm lúc nó cắt trục Ox lần thứ nhất kể từ lúc bắt,đầu chuyển động;,b) Trị số vận tốc của chất điểm tạiivịịtrr cao nhấấ  ủủanóó rên quu  đạ..

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một.

### a) Tìm trị số vận tốc và gia tốc của chất điểm lúc nó cắt trục Ox lần thứ nhất.

Chất điểm có tọa độ $ (x, y) = (t, \sin(t^2)) $.

Chất điểm cắt trục Ox khi $ y = 0 $, tức là:
$$
\sin(t^2) = 0
$$
Điều này xảy ra khi:
$$
t^2 = n\pi \quad (n \in \mathbb{Z})
$$
Vì $ t $ phải dương, ta có:
$$
t = \sqrt{\pi} \quad (n = 1)
$$

Bây giờ, chúng ta sẽ tính vận tốc và gia tốc tại thời điểm $ t = \sqrt{\pi} $.

**Vận tốc:**
Vận tốc $ v $ được tính bằng đạo hàm của tọa độ theo thời gian:
$$
v_x = \frac{dx}{dt} = 1
$$
$$
v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(\sin(t^2)) = 2t \cos(t^2)
$$
Tại $ t = \sqrt{\pi} $:
$$
v_y = 2\sqrt{\pi} \cos(\pi) = -2\sqrt{\pi}
$$
Vậy vận tốc tổng hợp là:
$$
v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{1^2 + (-2\sqrt{\pi})^2} = \sqrt{1 + 4\pi}
$$

**Gia tốc:**
Gia tốc $ a $ được tính bằng đạo hàm của vận tốc:
$$
a_x = \frac{d^2x}{dt^2} = 0
$$
$$
a_y = \frac{d^2y}{dt^2} = \frac{d}{dt}(2t \cos(t^2)) = 2\cos(t^2) - 4t^2 \sin(t^2)
$$
Tại $ t = \sqrt{\pi} $:
$$
a_y = 2\cos(\pi) - 4(\pi)(0) = -2
$$
Vậy gia tốc tổng hợp là:
$$
a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = 2
$$

### Kết luận phần a:
- Vận tốc tại thời điểm cắt trục Ox lần thứ nhất: $ \sqrt{1 + 4\pi} $ cm/s.
- Gia tốc tại thời điểm đó: $ 2 $ cm/s².

### b) Tìm trị số vận tốc của chất điểm tại vị trí cao nhất của nó trên quỹ đạo.

Vị trí cao nhất xảy ra khi $ y $ đạt giá trị cực đại, tức là $ \sin(t^2) = 1 $. Điều này xảy ra khi:
$$
t^2 = \frac{\pi}{2} + n\pi \quad (n \in \mathbb{Z})
$$
Với $ n = 0 $:
$$
t = \sqrt{\frac{\pi}{2}}
$$

Tại thời điểm này, ta tính vận tốc:
$$
v_x = 1
$$
$$
v_y = 2t \cos(t^2) = 2\sqrt{\frac{\pi}{2}} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0
$$
Vậy vận tốc tổng hợp là:
$$
v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1 \text{ cm/s}
$$

### Kết luận phần b:
- Vận tốc của chất điểm tại vị trí cao nhất: $ 1 $ cm/s.