Giải chi tiết

Bài toán: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}(m+1)x^2 + (m^2 + m - 1)x + 1$ đồng biến trên khoảng $(1; 2)$. Để hàm số đồng biến trên khoảng $(1; 2)$, thì đạo hàm của hàm số phải không âm trên khoảng $(1; 2)$. Tức là $y' \geq 0$ với mọi $x \in (1; 2)$. Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số: $y' = x^2 - (m+1)x + (m^2 + m - 1).$ Yêu cầu bài toán tương đương với $y' \geq 0$ với mọi $x \in (1; 2)$. Xét bất phương trình $y' \geq 0$: $x^2 - (m+1)x + (m^2 + m - 1) \geq 0.$ Đây là một bất phương trình bậc hai theo $x$. Để nó đúng với mọi $x \in (1; 2)$, thì phương trình $y' = 0$ phải có hai nghiệm $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1 \leq 1 \leq x_2 \leq 2$. Xét phương trình $y' = 0$: $x^2 - (m+1)x + (m^2 + m - 1) = 0.$ Theo định lý Vi-ét, ta có: $\begin{cases} x_1 + x_2 = m+1 \\ x_1x_2 = m^2 + m - 1 \end{cases}.$ Vì $x_1 \leq 1 \leq x_2 \leq 2$, nên $1 \leq \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{m+1}{2} \leq 1,5$ và $1 \leq x_1x_2 = m^2 + m - 1 \leq 4$. Từ đó, ta có hệ bất phương trình: $\begin{cases} 1 \leq \frac{m+1}{2} \leq 1,5 \\ 1 \leq m^2 + m - 1 \leq 4 \end{cases}.$ Giải hệ bất phương trình này, ta được: $\begin{cases} 2 \leq m+1 \leq 3 \\ 2 \leq m^2 + m \leq 5 \end{cases}.$ Giải các bất phương trình trong hệ, ta được: $\begin{cases} 1 \leq m \leq 2 \\ 2 \leq m^2 + m \leq 5 \end{cases}.$ Giải bất phương trình $2 \leq m^2 + m \leq 5$, ta được: $2 \leq m^2 + m \leq 5 \Leftrightarrow \begin{cases} m^2 + m - 2 \geq 0 \\ m^2 + m - 5 \leq 0 \end{cases}.$ Giải các bất phương trình trong hệ, ta được: $\begin{cases} m \leq -2 \text{ hoặc } m \geq 1 \\ -2 \leq m \leq 2 \end{cases}.$ Kết hợp các điều kiện, ta được: $1 \leq m \leq 2.$ Vậy, giá trị cần tìm của tham số $m$ là $1 \leq m \leq 2$. Câu 2: Đầu tiên, chúng ta cần tìm vận tốc tức thời của chất điểm. Vận tốc tức thời là đạo hàm của hàm số $s(t)$ theo thời gian $t$. $v(t) = s'(t) = -3t^2 + 12t + 1$. Để tìm vận tốc tức thời lớn nhất trong 5 giây đầu tiên, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm $v(t)$ trên đoạn $[0; 5]$. Đạo hàm của $v(t)$ là: $v'(t) = -6t + 12$. Cho $v'(t) = 0$ ta được: $-6t + 12 = 0 \Rightarrow t = 2$. Tại $t = 2$, hàm $v(t)$ đạt cực đại. Tính $v(2) = -3(2)^2 + 12(2) + 1 = -12 + 24 + 1 = 13$. Tính $v(0) = -3(0)^2 + 12(0) + 1 = 1$. Tính $v(5) = -3(5)^2 + 12(5) + 1 = -75 + 60 + 1 = -14$. So sánh các giá trị $v(2) = 13$, $v(0) = 1$, $v(5) = -14$, chúng ta thấy vận tốc tức thời lớn nhất trong 5 giây đầu tiên là $13$ m/s. Vậy vận tốc tức thời lớn nhất của chất điểm trong 5 giây đầu tiên là $13$ m/s. Câu 3: Để tìm thời điểm vật đạt độ cao lớn nhất, ta cần tìm thời điểm mà vận tốc của vật bằng 0, vì tại đó vật đang đổi hướng chuyển động. Vận tốc của vật được cho bởi đạo hàm của độ cao theo thời gian: $v(t) = h'(t) = 24,5 - 9,8t.$ Để tìm thời điểm vật đạt vận tốc 0, ta giải phương trình: $0 = 24,5 - 9,8t.$ Giải phương trình này, ta được: $9,8t = 24,5 \Rightarrow t = \frac{24,5}{9,8} = 2,5.$ Vậy, vật đạt độ cao lớn nhất sau 2,5 giây. Câu 4: Để tìm số lô hàng lớn nhất mà công ti có thể bán sau đợt quảng cáo, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số $N(x)=-x^2+30x+6$ trên đoạn $[0;30]$. Hàm số $N(x)$ là một hàm bậc hai với hệ số $a=-1< 0$, do đó đồ thị của nó là một parabol quay bề lõm xuống dưới. Vì vậy, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol. Đỉnh của parabol $y=-x^2+30x+6$ có hoành độ $x_{I}=-\frac{b}{2a}=-\frac{30}{2(-1)}=15$. Vì $x_{I}=15$ nằm trong đoạn $[0;30]$, nên giá trị lớn nhất của hàm số $N(x)$ trên đoạn $[0;30]$ đạt được tại $x=15$. Thay $x=15$ vào hàm số $N(x)$, ta được: $N(15)=-15^2+30.15+6=-225+450+6=231.$ Vậy số lô hàng lớn nhất mà công ti có thể bán sau đợt quảng cáo là 231. Câu 5: Để tìm giá trị của t để số người nhận phúc lợi tối đa, ta cần tìm cực trị của hàm số $n(t) = \frac{t^3}{3} - 6t^2 + 32t$. Đạo hàm của hàm số $n(t)$ là: $n'(t) = t^2 - 12t + 32.$ Để tìm cực trị, ta giải phương trình $n'(t) = 0$: $t^2 - 12t + 32 = 0.$ Phương trình này có thể giải bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: $t = \frac{12 \pm \sqrt{12^2 - 4*1*32}}{2*1} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 128}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{12 \pm 4}{2}.$ Ta tìm được hai nghiệm: $t_1 = \frac{12 + 4}{2} = 8$ và $t_2 = \frac{12 - 4}{2} = 4$. Ta cần kiểm tra xem giá trị nào của t cho số người nhận phúc lợi tối đa. Ta tính $n(t)$ tại các giá trị $t_1 = 8$ và $t_2 = 4$: $n(8) = \frac{8^3}{3} - 6*8^2 + 32*8 = \frac{512}{3} - 384 + 256 = \frac{512}{3} - 128 = \frac{152}{3},$ $n(4) = \frac{4^3}{3} - 6*4^2 + 32*4 = \frac{64}{3} - 96 + 128 = \frac{64}{3} + 32 = \frac{128}{3}.$ So sánh hai giá trị, ta thấy $n(8) > n(4)$. Vậy, tại $t = 8$ thì số người nhận phúc lợi tối đa.