Đăng ký học gia sư
Tất cả
Hỏi bài tập 
Toán Học
Vật Lý
Hóa Học
Tiếng Anh
Ngữ Văn
Hỏi đời sống 
Tâm lý cảm xúc
Tình cảm
Gia đình bạn bè
Cơ thể & Dậy thì
Giải trí
Mạng xã hội
Định hướng cuộc sống
Hỏi đáp ẩn danh
06/10/2024
cho nguyên tố , p lớn hơn hoặc bằng 5 . CM p^2-1 chia hết cho 24
0
-
Câu trả lời phải chính xác, đầy đủ dựa trên kiến thức xác thực:
- ✔ Đối với câu hỏi trắc nghiệm: Đưa đáp án lựa chọn + giải thích lý do chọn đáp án.
- ✔ Đối với câu hỏi tự luận: Đưa lời giải và đáp án cho câu hỏi.
- ✔ Đối với câu hỏi trả lời ngắn: Đưa ra đáp án + giải thích lý do.
- ✔ Chấp nhận sử dụng ảnh do thành viên viết tay, ảnh cần rõ nét, không bị mờ, vỡ ảnh.
- Sử dụng ngôn ngữ rõ ràng, dễ hiểu.
- Tránh đưa ra các ý kiến cá nhân mang tính chất chủ quan.
- Nếu sử dụng thông tin từ nguồn khác, phải trích dẫn nguồn đầy đủ và chính xác.
- Tuyệt đối không được sao chép các thông tin từ các trang khác, từ AI hoặc chatGPT.
06/10/2024
0 
06/10/2024
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
p^{2} -1\\
=p^{2} -p+p-1\\
=p( p-1) +( p-1)\\
=( p-1)( p+1)
\end{array}$
Có $\displaystyle p$ là số nguyên tố lớn hơn hoặc bằng 5
Suy ra $\displaystyle p$ lẻ
Suy ra $\displaystyle p-1;p+1$ là 2 số chẵn liên tiếp
Như vậy trong 2 số sẽ có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4
Suy ra $\displaystyle ( p-1)( p+1)$ chia hết cho 8(1)
Vì $\displaystyle p$ là số nguyên tố lớn hơn 5 nên $\displaystyle p$ có 2 dạng là $\displaystyle 3k+1$ và $\displaystyle 3k+2$
Với $\displaystyle p=3k+1$
Khi đó $\displaystyle ( p-1)( p+1) =( 3k+1-1)( 3k+1+1) =3k.( 3k+2) \ \vdots 3$
Với $\displaystyle p=3k+2$
Khi đó $\displaystyle ( p-1)( p+1) =( 3k+2-1)( 3k+2+1) =( 3k+1) .( 3k+3) =3.( 3k+1) .( k+1) \vdots 3$
Như vậy $\displaystyle ( p-1)( p+1)$ chia hết cho 3 với mọi số nguyên tố $\displaystyle p$ lớn hơn hoặc bằng $\displaystyle 5$(2)
Từ $\displaystyle ( 1)$ và $\displaystyle ( 2)$
Suy ra $\displaystyle ( p-1)( p+1)$ chia hết cho $\displaystyle 3.8$
Hay $\displaystyle p^{2} -1$ chia hết cho 24 với mọi số nguyên tố $\displaystyle p\ $lớn hơn hoặc bằng 5
0 
06/10/2024
yên trương Đề bài: Cho số nguyên tố p lớn hơn hoặc bằng 5. Chứng minh rằng p^2 - 1 chia hết cho 24.
Chứng minh:
Ta có: p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)
Bước 1: Chứng minh p^2 - 1 chia hết cho 3
- Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3.
- Mọi số nguyên khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0, 1 hoặc 2.
- Do p không chia hết cho 3 nên p chia 3 dư 1 hoặc 2.
- Trường hợp 1: Nếu p chia 3 dư 1 thì p = 3k + 1 (k ∈ ℤ). Khi đó, p - 1 = 3k và p + 1 = 3k + 2. Suy ra (p - 1)(p + 1) chia hết cho 3.
- Trường hợp 2: Nếu p chia 3 dư 2 thì p = 3k + 2 (k ∈ ℤ). Khi đó, p - 1 = 3k + 1 và p + 1 = 3(k + 1). Suy ra (p - 1)(p + 1) chia hết cho 3.
- Vậy trong cả hai trường hợp, ta đều có (p - 1)(p + 1) chia hết cho 3.
Bước 2: Chứng minh p^2 - 1 chia hết cho 8
- Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ.
- Do đó, p - 1 và p + 1 là hai số chẵn liên tiếp.
- Trong hai số chẵn liên tiếp, luôn có một số chia hết cho 4.
- Vậy (p - 1)(p + 1) chia hết cho 4.
- Mặt khác, p - 1 và p + 1 là hai số chẵn liên tiếp nên tích của chúng cũng chia hết cho 2.
- Từ đó suy ra (p - 1)(p + 1) chia hết cho 8.
Kết luận:
- Từ bước 1 và bước 2, ta có (p - 1)(p + 1) chia hết cho cả 3 và 8.
- Mà 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên (p - 1)(p + 1) chia hết cho 3.8 = 24.
- Vậy p^2 - 1 chia hết cho 24 (điều phải chứng minh).
Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng với mọi số nguyên tố p lớn hơn hoặc bằng 5 thì p^2 - 1 luôn chia hết cho 24.
1 Nếu bạn muốn hỏi bài tập
Các câu hỏi của bạn luôn được giải đáp dưới 10 phút
CÂU HỎI LIÊN QUAN
5 giờ trước
6 giờ trước
Top thành viên trả lời
Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.