Chứng tỏ rằng: A = ( 5 + 52 + 53 + 54 + … + 529 + 530) ⁝ 3

Để chứng minh rằng A chia hết cho 3, ta cần xem xét tổng của các số hạng trong biểu thức A. A = (5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + … + 5^29 + 5^30) Ta sẽ kiểm tra tính chia hết của từng số hạng trong biểu thức này cho 3. - Số 5 chia cho 3 dư 2. - Số 5^2 = 25, chia cho 3 dư 1. - Số 5^3 = 125, chia cho 3 dư 2. - Số 5^4 = 625, chia cho 3 dư 1. - Ta thấy rằng các số 5^n (n là số tự nhiên) khi chia cho 3 sẽ luân phiên giữa các số dư 2 và 1. Cụ thể: - 5^(2k+1) chia cho 3 dư 2 (với k là số tự nhiên). - 5^(2k) chia cho 3 dư 1 (với k là số tự nhiên). Biểu thức A có tổng cộng 30 số hạng, trong đó có 15 số hạng có dạng 5^(2k+1) và 15 số hạng có dạng 5^(2k). Tổng các số hạng có dạng 5^(2k+1) sẽ là: 15 × 2 = 30 Tổng các số hạng có dạng 5^(2k) sẽ là: 15 × 1 = 15 Tổng của hai tổng trên là: 30 + 15 = 45 Số 45 chia hết cho 3, do đó A chia hết cho 3. Kết luận: A chia hết cho 3.