Gup em them lang cuoi

Câu 22. Để tìm vận tốc tối đa của thầy An, ta cần tính đạo hàm của hàm số \( s(t) \) để tìm vận tốc tức thời \( v(t) \). Vận tốc tối đa sẽ là giá trị lớn nhất của đạo hàm này. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( s(t) \): \[ s(t) = at^3 + bt^2 + ct + d \] \[ s'(t) = 3at^2 + 2bt + c \] Bước 2: Tìm điểm cực đại của đạo hàm \( s'(t) \) bằng cách giải phương trình đạo hàm bậc hai: \[ s''(t) = 6at + 2b \] Đặt \( s''(t) = 0 \): \[ 6at + 2b = 0 \] \[ t = -\frac{b}{3a} \] Bước 3: Thay \( t = -\frac{b}{3a} \) vào \( s'(t) \) để tìm vận tốc tối đa: \[ v_{max} = s'\left(-\frac{b}{3a}\right) = 3a\left(-\frac{b}{3a}\right)^2 + 2b\left(-\frac{b}{3a}\right) + c \] \[ v_{max} = 3a \cdot \frac{b^2}{9a^2} - \frac{2b^2}{3a} + c \] \[ v_{max} = \frac{b^2}{3a} - \frac{2b^2}{3a} + c \] \[ v_{max} = -\frac{b^2}{3a} + c \] Bước 4: Xác định các giá trị \( a \), \( b \), và \( c \) từ đồ thị hoặc dữ liệu đã cho. Từ đồ thị, ta thấy rằng: - \( s(0) = d = 0 \) - \( s(1) = a + b + c + d = 1 \) - \( s(2) = 8a + 4b + 2c + d = 4 \) Giải hệ phương trình: \[ a + b + c = 1 \] \[ 8a + 4b + 2c = 4 \] Bước 5: Giải hệ phương trình: \[ a + b + c = 1 \quad \text{(1)} \] \[ 8a + 4b + 2c = 4 \quad \text{(2)} \] Nhân phương trình (1) với 2: \[ 2a + 2b + 2c = 2 \quad \text{(3)} \] Trừ phương trình (3) từ phương trình (2): \[ 8a + 4b + 2c - (2a + 2b + 2c) = 4 - 2 \] \[ 6a + 2b = 2 \] \[ 3a + b = 1 \quad \text{(4)} \] Giải phương trình (4) cho \( b \): \[ b = 1 - 3a \] Thay \( b = 1 - 3a \) vào phương trình (1): \[ a + (1 - 3a) + c = 1 \] \[ a + 1 - 3a + c = 1 \] \[ -2a + c = 0 \] \[ c = 2a \] Bước 6: Thay \( b = 1 - 3a \) và \( c = 2a \) vào biểu thức \( v_{max} \): \[ v_{max} = -\frac{(1 - 3a)^2}{3a} + 2a \] \[ v_{max} = -\frac{1 - 6a + 9a^2}{3a} + 2a \] \[ v_{max} = -\frac{1}{3a} + 2 + 3a + 2a \] \[ v_{max} = -\frac{1}{3a} + 2 + 5a \] Bước 7: Xác định giá trị \( a \) từ đồ thị hoặc dữ liệu đã cho. Từ đồ thị, ta thấy rằng: - \( s(1) = 1 \) - \( s(2) = 4 \) Giải phương trình: \[ a + b + c = 1 \] \[ 8a + 4b + 2c = 4 \] Ta có: \[ a = \frac{1}{2}, b = -\frac{1}{2}, c = 1 \] Bước 8: Thay \( a = \frac{1}{2} \), \( b = -\frac{1}{2} \), và \( c = 1 \) vào biểu thức \( v_{max} \): \[ v_{max} = -\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)^2}{3 \cdot \frac{1}{2}} + 1 \] \[ v_{max} = -\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2}} + 1 \] \[ v_{max} = -\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} + 1 \] \[ v_{max} = -\frac{1}{6} + 1 \] \[ v_{max} = \frac{5}{6} \] Vậy vận tốc tối đa của thầy An đạt được là: \[ \boxed{\frac{5}{6} \text{ km/h}} \]