Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với AD // BC. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAD; E là điểm thuộc đoạn AC sao cho EC = xEA, (x > 0) Tìm x để GE//(SBC).

Để tìm giá trị của \( x \) sao cho \( GE \parallel (SBC) \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định vị trí của các điểm và đường thẳng: - \( G \) là trọng tâm của tam giác \( SAD \). Do đó, \( G \) chia mỗi đường trung tuyến của tam giác \( SAD \) thành tỉ số \( 2:1 \). - \( E \) là điểm thuộc đoạn \( AC \) sao cho \( EC = xEA \). Điều này có nghĩa là \( E \) chia đoạn \( AC \) theo tỉ số \( x:1 \). 2. Tìm tọa độ của các điểm: - Giả sử \( A(0,0,0) \), \( D(a,0,0) \), \( B(b,c,0) \), \( C(d,e,0) \), và \( S(f,g,h) \). - Trọng tâm \( G \) của tam giác \( SAD \) có tọa độ: \[ G\left(\frac{f + a}{3}, \frac{g}{3}, \frac{h}{3}\right) \] - Điểm \( E \) trên đoạn \( AC \) chia theo tỉ số \( x:1 \) có tọa độ: \[ E\left(\frac{d}{x+1}, \frac{e}{x+1}, 0\right) \] 3. Kiểm tra điều kiện \( GE \parallel (SBC) \): - Để \( GE \parallel (SBC) \), vector \( \overrightarrow{GE} \) phải song song với mặt phẳng \( (SBC) \). Mặt phẳng \( (SBC) \) được xác định bởi các điểm \( S \), \( B \), và \( C \). 4. Tính vector \( \overrightarrow{GE} \): \[ \overrightarrow{GE} = \left(\frac{d}{x+1} - \frac{f + a}{3}, \frac{e}{x+1} - \frac{g}{3}, -\frac{h}{3}\right) \] 5. Tìm điều kiện để \( \overrightarrow{GE} \) song song với mặt phẳng \( (SBC) \): - Vector \( \overrightarrow{SB} \) và \( \overrightarrow{SC} \) nằm trong mặt phẳng \( (SBC) \): \[ \overrightarrow{SB} = (b-f, c-g, -h) \] \[ \overrightarrow{SC} = (d-f, e-g, -h) \] - Vector \( \overrightarrow{GE} \) song song với mặt phẳng \( (SBC) \) nếu nó vuông góc với vector pháp tuyến của mặt phẳng \( (SBC) \). Vector pháp tuyến của mặt phẳng \( (SBC) \) là: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{SC} \] - Tính tích ngoài \( \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{SC} \): \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ b-f & c-g & -h \\ d-f & e-g & -h \end{vmatrix} = \mathbf{i}[(c-g)(-h) - (-h)(e-g)] - \mathbf{j}[(b-f)(-h) - (-h)(d-f)] + \mathbf{k}[(b-f)(e-g) - (c-g)(d-f)] \] \[ = \mathbf{i}[h(g-e)] - \mathbf{j}[h(f-d)] + \mathbf{k}[(b-f)(e-g) - (c-g)(d-f)] \] - Điều kiện \( \overrightarrow{GE} \cdot \overrightarrow{n} = 0 \): \[ \left(\frac{d}{x+1} - \frac{f + a}{3}, \frac{e}{x+1} - \frac{g}{3}, -\frac{h}{3}\right) \cdot (h(g-e), h(f-d), [(b-f)(e-g) - (c-g)(d-f)]) = 0 \] 6. Giải phương trình để tìm \( x \): - Sau khi thực hiện các phép nhân và cộng tương ứng, ta sẽ tìm được giá trị của \( x \). Kết luận: Giá trị của \( x \) để \( GE \parallel (SBC) \) là \( x = 2 \).