haiiiiiiiiiiiiiiiie

Gọi bán kính của nửa đường tròn là R, ta có R = 10 cm. Diện tích của hình chữ nhật ABCD là: \[ S = AB \times BC \] Trong đó, AB là chiều dài của đoạn thẳng từ A đến B trên nửa đường tròn, và BC là chiều dài của đoạn thẳng từ B đến C trên đường kính MN. Ta có: \[ AB = R \sin \alpha = 10 \sin \alpha \] \[ BC = R - R \cos \alpha = 10 - 10 \cos \alpha = 10(1 - \cos \alpha) \] Do đó diện tích của hình chữ nhật ABCD là: \[ S = 10 \sin \alpha \times 10(1 - \cos \alpha) = 100 \sin \alpha (1 - \cos \alpha) \] Để diện tích của hình chữ nhật ABCD giảm, ta cần tìm khoảng giá trị của góc $\alpha$ sao cho đạo hàm của diện tích theo $\alpha$ là âm. Tính đạo hàm của diện tích theo $\alpha$: \[ \frac{dS}{d\alpha} = 100 \left( \cos \alpha (1 - \cos \alpha) + \sin \alpha \sin \alpha \right) = 100 \left( \cos \alpha - \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \right) \] Sử dụng công thức Pythagoras $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, ta có: \[ \frac{dS}{d\alpha} = 100 \left( \cos \alpha - \cos^2 \alpha + 1 - \cos^2 \alpha \right) = 100 \left( \cos \alpha + 1 - 2 \cos^2 \alpha \right) \] Đặt $u = \cos \alpha$, ta có: \[ \frac{dS}{d\alpha} = 100 \left( u + 1 - 2u^2 \right) \] Đạo hàm này sẽ âm khi: \[ u + 1 - 2u^2 < 0 \] Giải bất phương trình này: \[ 2u^2 - u - 1 > 0 \] Phương trình bậc hai: \[ 2u^2 - u - 1 = 0 \] Có các nghiệm: \[ u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4} \] Do đó: \[ u = 1 \quad \text{hoặc} \quad u = -\frac{1}{2} \] Bất phương trình $2u^2 - u - 1 > 0$ đúng khi: \[ u < -\frac{1}{2} \quad \text{hoặc} \quad u > 1 \] Vì $u = \cos \alpha$ và $-1 \leq \cos \alpha \leq 1$, ta chỉ quan tâm đến khoảng: \[ \cos \alpha < -\frac{1}{2} \] Khi đó: \[ \alpha \in \left( \frac{2\pi}{3}, \pi \right) \cup \left( 0, \frac{\pi}{3} \right) \] Vậy: \[ a = 0, \quad b = \frac{\pi}{3}, \quad c = \frac{2\pi}{3}, \quad d = \pi \] Do đó: \[ a + b + c + d = 0 + \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} + \pi = 2\pi \] Biểu thức $\frac{m\pi}{n}$ với $\frac{mn}$ tối giản là $\frac{2\pi}{1}$, do đó $m = 2$ và $n = 1$. Vậy $m + n = 2 + 1 = 3$. Đáp số: 3