Giải hộ mình câu này với các bạn

Câu 1. Để tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( f(x) = \frac{3x^2 - 2x - 5}{x - 2} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn hàm số \( f(x) \). \[ f(x) = \frac{3x^2 - 2x - 5}{x - 2} \] Ta thực hiện phép chia đa thức: \[ 3x^2 - 2x - 5 = (x - 2)(3x + 4) + 3 \] Do đó: \[ f(x) = 3x + 4 + \frac{3}{x - 2} \] Bước 2: Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( f(x) \). Hàm số \( f(x) = 3x + 4 + \frac{3}{x - 2} \) có dạng \( y = ax + b + \frac{c}{x - d} \), trong đó tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{c}{x - d} \) là điểm \( (d; b) \). Trong trường hợp này: - \( a = 3 \) - \( b = 4 \) - \( c = 3 \) - \( d = 2 \) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( f(x) \) là điểm \( I(2; 4) \). Vậy giá trị của biểu thức \( C = a \) là: \[ C = 2 \] Đáp số: \( C = 2 \) Câu 2. Để hàm số $y = x^3 - 3mx^2 + 3(2m-1)x + 1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, ta cần tìm điều kiện của $m$ sao cho đạo hàm của hàm số luôn dương trên $\mathbb{R}$. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số. \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3mx^2 + 3(2m-1)x + 1) \] \[ y' = 3x^2 - 6mx + 3(2m-1) \] Bước 2: Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$, đạo hàm phải lớn hơn hoặc bằng 0 cho mọi $x \in \mathbb{R}$. \[ 3x^2 - 6mx + 3(2m-1) \geq 0 \] Bước 3: Chuyển về bài toán bất đẳng thức bậc hai. \[ x^2 - 2mx + (2m-1) \geq 0 \] Bước 4: Điều kiện để bất đẳng thức bậc hai này luôn đúng là: \[ \Delta = (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2m-1) \leq 0 \] \[ 4m^2 - 8m + 4 \leq 0 \] \[ m^2 - 2m + 1 \leq 0 \] \[ (m-1)^2 \leq 0 \] Bước 5: Giải bất đẳng thức $(m-1)^2 \leq 0$. Ta có: \[ (m-1)^2 = 0 \] \[ m = 1 \] Vậy chỉ có duy nhất giá trị $m = 1$ thỏa mãn điều kiện để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Đáp số: Có 1 giá trị nguyên của tham số $m$ là $m = 1$. Câu 3. Gọi chiều dài hàng rào là a, chiều rộng hàng rào là b. Chi phí nguyên vật liệu cho mặt hàng rào song song với bờ sông là: 50 000 × a Chi phí nguyên vật liệu cho ba mặt hàng rào song song nhau là: 40 000 × 3 × b Theo đề bài ta có: 50 000 × a + 40 000 × 3 × b = 15 000 000 50 × a + 120 × b = 15 000 5 × a + 12 × b = 1 500 a = $\frac{1500 - 12b}{5}$ Diện tích của khu đất là: a × b = $\frac{1500 - 12b}{5}$ × b = $\frac{-12b^2 + 1500b}{5}$ Ta có: -12b^2 + 1500b = -12(b^2 - 125b) = -12(b^2 - 125b + $\frac{125}{2}$^2 - $\frac{125}{2}$^2) = -12((b - $\frac{125}{2}$)^2 - $\frac{125}{2}$^2) = -12(b - $\frac{125}{2}$)^2 + 12 × $\frac{125}{2}$^2 = -12(b - $\frac{125}{2}$)^2 + 9375 Vì (b - $\frac{125}{2}$)^2 ≥ 0 nên -12(b - $\frac{125}{2}$)^2 ≤ 0 Do đó -12(b - $\frac{125}{2}$)^2 + 9375 ≤ 9375 Vậy $\frac{-12b^2 + 1500b}{5}$ ≤ $\frac{9375}{5}$ = 1875 Đẳng thức xảy ra khi b = $\frac{125}{2}$ Vậy diện tích lớn nhất của khu đất là 1875 m^2 Đáp số: 1875 m^2 Câu 4. Diện tích toàn phần của hộp là: ${x}^{2}+4xh=108$ Suy ra: $h=\frac{108-{x}^{2}}{4x}$ Thể tích của hộp là: $V={x}^{2}h=\frac{{x}^{3}(108-{x}^{2})}{4x}=\frac{108{x}^{2}-{x}^{4}}{4}$ Ta có: $V'=\frac{216x-4{x}^{3}}{4}=0$ $\Leftrightarrow 216x-4{x}^{3}=0$ $\Leftrightarrow x=0$ hoặc ${x}^{2}=54$ $\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=3\sqrt{6}$ Ta có bảng biến thiên: | x | 0 | $\rightarrow$ | $3\sqrt{6}$ | $\rightarrow$ | |---|---|---|---|---| | V' | 0 | + | $3\sqrt{6}$ | - | Từ bảng biến thiên ta thấy $V(3\sqrt{6})=\frac{243}{2}$ là giá trị lớn nhất của V. Vậy để thể tích của hộp lớn nhất thì chiều cao của hộp là: $h=\frac{108-(3\sqrt{6})^{2}}{4\times 3\sqrt{6}}=\frac{3\sqrt{6}}{4}$ (cm) Đáp số: $h=\frac{3\sqrt{6}}{4}$ cm Câu 5. Gọi số vé giảm là $x$ (nghìn đồng, $x \geq 0$) Số vé còn lại là $(120 - x)$ (nghìn đồng) Số khách đến xem phim là $360 + 60x$ (khách) Doanh thu của rạp là: $(120 - x)(360 + 60x) = 43200 + 6840x - 60x^2$ (nghìn đồng) Ta có: $y = -60x^2 + 6840x + 43200$ Đồ thị parabol hướng xuống, đỉnh đồ thị là điểm cực đại của hàm số. $x = -\frac{6840}{2 \times (-60)} = 57$ Vậy để doanh thu của rạp là lớn nhất thì cần giảm giá vé đến 57 nghìn đồng. Câu 6. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định gia tốc của chuyển động. 2. Tìm thời điểm mà gia tốc bằng 18 m/s². 3. Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm đó. Bước 1: Xác định gia tốc của chuyển động Gia tốc của chuyển động được xác định bằng đạo hàm thứ hai của phương trình chuyển động S(t). S'(t) = 3at² + 2bt + c S''(t) = 6at + 2b Bước 2: Tìm thời điểm mà gia tốc bằng 18 m/s² Ta có: 6at + 2b = 18 3at + b = 9 Bước 3: Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm đó Vận tốc của chuyển động được xác định bằng đạo hàm của phương trình chuyển động S(t). S'(t) = 3at² + 2bt + c Thay t vào phương trình này để tìm vận tốc tại thời điểm gia tốc bằng 18 m/s². Vậy, vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc bằng 18 m/s² là: S'(t) = 3at² + 2bt + c Đáp số: Vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc bằng 18 m/s² là S'(t) = 3at² + 2bt + c.