lập bảng biến thiên và tìm tâm đối xứng của hàm số a)2x²-x+4/x-1 b) -x²+x+2/x-3

Để lập bảng biến thiên và tìm tâm đối xứng của các hàm số đã cho, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) \( f(x) = \frac{2x^2 - x + 4}{x - 1} \) Bước 1: Tìm tập xác định Tập xác định của hàm số là \( D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \). Bước 2: Tìm đạo hàm \[ f'(x) = \frac{(4x - 1)(x - 1) - (2x^2 - x + 4)}{(x - 1)^2} = \frac{4x^2 - 4x - x + 1 - 2x^2 + x - 4}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 4x - 3}{(x - 1)^2} \] Bước 3: Tìm điểm cực trị Gọi \( g(x) = 2x^2 - 4x - 3 \). Ta giải phương trình \( g(x) = 0 \): \[ 2x^2 - 4x - 3 = 0 \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 24}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{10}}{2} \] Vậy hai nghiệm là: \[ x_1 = 1 + \frac{\sqrt{10}}{2}, \quad x_2 = 1 - \frac{\sqrt{10}}{2} \] Bước 4: Xét dấu đạo hàm - \( f'(x) > 0 \) khi \( x < 1 - \frac{\sqrt{10}}{2} \) hoặc \( x > 1 + \frac{\sqrt{10}}{2} \) - \( f'(x) < 0 \) khi \( 1 - \frac{\sqrt{10}}{2} < x < 1 \) hoặc \( 1 < x < 1 + \frac{\sqrt{10}}{2} \) Bước 5: Lập bảng biến thiên | \( x \) | \( (-\infty, 1 - \frac{\sqrt{10}}{2}) \) | \( 1 - \frac{\sqrt{10}}{2} \) | \( (1 - \frac{\sqrt{10}}{2}, 1) \) | \( 1 \) | \( (1, 1 + \frac{\sqrt{10}}{2}) \) | \( 1 + \frac{\sqrt{10}}{2} \) | \( (1 + \frac{\sqrt{10}}{2}, +\infty) \) | |---------|----------------------------------------|-------------------------------|------------------------------------|--------|------------------------------------|-------------------------------|--------------------------------------| | \( f'(x) \) | + | 0 | - | DNE | - | 0 | + | | \( f(x) \) | tăng | cực đại | giảm | DNE | giảm | cực tiểu | tăng | Bước 6: Tìm tâm đối xứng Hàm số \( f(x) = \frac{2x^2 - x + 4}{x - 1} \) có tâm đối xứng tại \( x = 1 \). b) \( f(x) = \frac{-x^2 + x + 2}{x - 3} \) Bước 1: Tìm tập xác định Tập xác định của hàm số là \( D = \mathbb{R} \setminus \{3\} \). Bước 2: Tìm đạo hàm \[ f'(x) = \frac{(-2x + 1)(x - 3) - (-x^2 + x + 2)}{(x - 3)^2} = \frac{-2x^2 + 6x + x - 3 + x^2 - x - 2}{(x - 3)^2} = \frac{-x^2 + 6x - 5}{(x - 3)^2} \] Bước 3: Tìm điểm cực trị Gọi \( g(x) = -x^2 + 6x - 5 \). Ta giải phương trình \( g(x) = 0 \): \[ -x^2 + 6x - 5 = 0 \] \[ x^2 - 6x + 5 = 0 \] \[ (x - 1)(x - 5) = 0 \] Vậy hai nghiệm là: \[ x_1 = 1, \quad x_2 = 5 \] Bước 4: Xét dấu đạo hàm - \( f'(x) > 0 \) khi \( 1 < x < 3 \) hoặc \( x > 5 \) - \( f'(x) < 0 \) khi \( x < 1 \) hoặc \( 3 < x < 5 \) Bước 5: Lập bảng biến thiên | \( x \) | \( (-\infty, 1) \) | \( 1 \) | \( (1, 3) \) | \( 3 \) | \( (3, 5) \) | \( 5 \) | \( (5, +\infty) \) | |---------|---------------------|--------|---------------|--------|--------------|--------|--------------------| | \( f'(x) \) | - | 0 | + | DNE | - | 0 | + | | \( f(x) \) | giảm | cực tiểu | tăng | DNE | giảm | cực đại | tăng | Bước 6: Tìm tâm đối xứng Hàm số \( f(x) = \frac{-x^2 + x + 2}{x - 3} \) có tâm đối xứng tại \( x = 3 \). Kết luận - Đối với hàm số \( f(x) = \frac{2x^2 - x + 4}{x - 1} \), tâm đối xứng là \( x = 1 \). - Đối với hàm số \( f(x) = \frac{-x^2 + x + 2}{x - 3} \), tâm đối xứng là \( x = 3 \).