cho parabol (p) : y = ax^2 + bx + c có đỉnh s(2;-1) và parabol cắt trục ox tại hai điểm a, b thỏa ab =2. tìm a b c

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình parabol qua đỉnh S(2; -1): Parabol \(y = ax^2 + bx + c\) có đỉnh \(S(2; -1)\). Ta biết rằng tọa độ đỉnh của parabol \(y = ax^2 + bx + c\) là \(\left(-\frac{b}{2a}; f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)\). Do đó: \[ -\frac{b}{2a} = 2 \quad \text{và} \quad f(2) = -1 \] Từ \(-\frac{b}{2a} = 2\), ta có: \[ b = -4a \] 2. Thay vào phương trình parabol để tìm \(c\): Thay \(x = 2\) vào phương trình \(y = ax^2 + bx + c\) và sử dụng \(y = -1\): \[ -1 = a(2)^2 + b(2) + c \] \[ -1 = 4a + 2b + c \] Thay \(b = -4a\) vào: \[ -1 = 4a + 2(-4a) + c \] \[ -1 = 4a - 8a + c \] \[ -1 = -4a + c \] \[ c = 4a - 1 \] 3. Xác định khoảng cách giữa hai giao điểm A và B trên trục Ox: Parabol cắt trục Ox tại hai điểm A và B, tức là \(y = 0\). Phương trình này trở thành: \[ ax^2 + bx + c = 0 \] Thay \(b = -4a\) và \(c = 4a - 1\) vào: \[ ax^2 - 4ax + (4a - 1) = 0 \] Khoảng cách giữa hai giao điểm A và B là 2, do đó: \[ AB = 2 \] Khoảng cách giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\) là: \[ |x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{|a|} \] Thay \(b = -4a\) và \(c = 4a - 1\) vào: \[ |x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{(-4a)^2 - 4a(4a - 1)}}{|a|} \] \[ |x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{16a^2 - 16a^2 + 4a}}{|a|} \] \[ |x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{4a}}{|a|} \] \[ |x_1 - x_2| = \frac{2\sqrt{a}}{|a|} \] Vì \(AB = 2\), ta có: \[ \frac{2\sqrt{a}}{|a|} = 2 \] \[ \frac{\sqrt{a}}{|a|} = 1 \] Điều này chỉ đúng nếu \(a > 0\). Do đó, ta có: \[ \sqrt{a} = a \] \[ a = 1 \] 4. Tìm \(b\) và \(c\): Thay \(a = 1\) vào các biểu thức đã tìm: \[ b = -4a = -4(1) = -4 \] \[ c = 4a - 1 = 4(1) - 1 = 3 \] Vậy phương trình parabol là: \[ y = x^2 - 4x + 3 \] Đáp số: \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\).