chứng minh rằng 3^n + 4^n ko chia hết cho 35

Để chứng minh rằng \(3^n + 4^n\) không chia hết cho 35, ta sẽ chứng minh nó không chia hết cho 5 và 7. Bước 1: Chứng minh \(3^n + 4^n\) không chia hết cho 5 Ta xét \(3^n + 4^n\) theo modulo 5: - \(3^1 \equiv 3 \pmod{5}\) - \(3^2 \equiv 9 \equiv 4 \pmod{5}\) - \(3^3 \equiv 12 \equiv 2 \pmod{5}\) - \(3^4 \equiv 6 \equiv 1 \pmod{5}\) Như vậy, chu kỳ của \(3^n \pmod{5}\) là 4: \(3, 4, 2, 1\). - \(4^1 \equiv 4 \pmod{5}\) - \(4^2 \equiv 16 \equiv 1 \pmod{5}\) Như vậy, chu kỳ của \(4^n \pmod{5}\) là 2: \(4, 1\). Ta xét các trường hợp: - Nếu \(n \equiv 1 \pmod{4}\): \(3^n \equiv 3 \pmod{5}\) và \(4^n \equiv 4 \pmod{5}\). Vậy \(3^n + 4^n \equiv 3 + 4 \equiv 7 \equiv 2 \pmod{5}\). - Nếu \(n \equiv 2 \pmod{4}\): \(3^n \equiv 4 \pmod{5}\) và \(4^n \equiv 1 \pmod{5}\). Vậy \(3^n + 4^n \equiv 4 + 1 \equiv 5 \equiv 0 \pmod{5}\). - Nếu \(n \equiv 3 \pmod{4}\): \(3^n \equiv 2 \pmod{5}\) và \(4^n \equiv 4 \pmod{5}\). Vậy \(3^n + 4^n \equiv 2 + 4 \equiv 6 \equiv 1 \pmod{5}\). - Nếu \(n \equiv 0 \pmod{4}\): \(3^n \equiv 1 \pmod{5}\) và \(4^n \equiv 1 \pmod{5}\). Vậy \(3^n + 4^n \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{5}\). Như vậy, \(3^n + 4^n\) không bao giờ chia hết cho 5. Bước 2: Chứng minh \(3^n + 4^n\) không chia hết cho 7 Ta xét \(3^n + 4^n\) theo modulo 7: - \(3^1 \equiv 3 \pmod{7}\) - \(3^2 \equiv 9 \equiv 2 \pmod{7}\) - \(3^3 \equiv 6 \equiv 6 \pmod{7}\) - \(3^4 \equiv 18 \equiv 4 \pmod{7}\) - \(3^5 \equiv 12 \equiv 5 \pmod{7}\) - \(3^6 \equiv 15 \equiv 1 \pmod{7}\) Như vậy, chu kỳ của \(3^n \pmod{7}\) là 6: \(3, 2, 6, 4, 5, 1\). - \(4^1 \equiv 4 \pmod{7}\) - \(4^2 \equiv 16 \equiv 2 \pmod{7}\) - \(4^3 \equiv 8 \equiv 1 \pmod{7}\) Như vậy, chu kỳ của \(4^n \pmod{7}\) là 3: \(4, 2, 1\). Ta xét các trường hợp: - Nếu \(n \equiv 1 \pmod{6}\): \(3^n \equiv 3 \pmod{7}\) và \(4^n \equiv 4 \pmod{7}\). Vậy \(3^n + 4^n \equiv 3 + 4 \equiv 7 \equiv 0 \pmod{7}\). - Nếu \(n \equiv 2 \pmod{6}\): \(3^n \equiv 2 \pmod{7}\) và \(4^n \equiv 2 \pmod{7}\). Vậy \(3^n + 4^n \equiv 2 + 2 \equiv 4 \pmod{7}\). - Nếu \(n \equiv 3 \pmod{6}\): \(3^n \equiv 6 \pmod{7}\) và \(4^n \equiv 1 \pmod{7}\). Vậy \(3^n + 4^n \equiv 6 + 1 \equiv 7 \equiv 0 \pmod{7}\). - Nếu \(n \equiv 4 \pmod{6}\): \(3^n \equiv 4 \pmod{7}\) và \(4^n \equiv 4 \pmod{7}\). Vậy \(3^n + 4^n \equiv 4 + 4 \equiv 8 \equiv 1 \pmod{7}\). - Nếu \(n \equiv 5 \pmod{6}\): \(3^n \equiv 5 \pmod{7}\) và \(4^n \equiv 2 \pmod{7}\). Vậy \(3^n + 4^n \equiv 5 + 2 \equiv 7 \equiv 0 \pmod{7}\). - Nếu \(n \equiv 0 \pmod{6}\): \(3^n \equiv 1 \pmod{7}\) và \(4^n \equiv 1 \pmod{7}\). Vậy \(3^n + 4^n \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{7}\). Như vậy, \(3^n + 4^n\) không bao giờ chia hết cho 7. Kết luận Vì \(3^n + 4^n\) không chia hết cho 5 và không chia hết cho 7, nên \(3^n + 4^n\) không chia hết cho 35.