Để đo gia tốc g, người ta tiến hành thí nghiệm: Từ mặt đất, ném thẳng đứng 1 vật lên cao với v0, bỏ qua sức cản không khí.
1. Để đo gia tốc g, người ta đặt máy đo quang học tại 2 vị trí y1, y2 có khoảng cách h= y1-y2. Để đo chính xác các khoảng thời gian trong quá trình chuyển động của vật, gọi delta t1, delta t2 là khoảng thời gian giữa 2 lần vật đi qua y1, y2 như hình
a) Chứng minh g= 8h/ delta t1^2- delta t2^2
b) 1 phép đo cho ta: delta t1= 0,6554s, delta t2= 0,1483s, h= 0,5m. g=?
2. Giả sử v0= 10m/s
a) Độ cao cực đại của vật là bao nhiêu?
b) Khoảng thời gian giữa 2 lần vật đi qua điểm chính giữa của hmax?

Question

Accepted Answer

### **1. Để đo gia tốc $ g $:**

**a) Chứng minh công thức $ g = \frac{8h}{\Delta t_1^2 - \Delta t_2^2} $:**

Giả sử vật được ném lên với vận tốc ban đầu $ v_0 $ từ mặt đất, chuyển động thẳng đứng dưới tác dụng của trọng lực $ g $. Tại hai vị trí $ y_1 $ và $ y_2 $, ta đặt máy đo quang học để đo khoảng thời gian $ \Delta t_1 $ và $ \Delta t_2 $ khi vật chuyển động.

Vị trí và vận tốc tại bất kỳ thời điểm nào $ t $ được mô tả bởi:

$$
y(t) = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2.
$$

Tại các vị trí $ y_1 $ và $ y_2 $, khi vật đi qua hai lần trong quá trình chuyển động, ta có:

- Thời điểm đi qua $ y_1 $: $ t_{1a} $ và $ t_{1b} $ (lần đi lên và lần đi xuống).
- Thời điểm đi qua $ y_2 $: $ t_{2a} $ và $ t_{2b} $ (lần đi lên và lần đi xuống).

Khoảng cách giữa $ y_1 $ và $ y_2 $ là $ h = y_1 - y_2 $.

Các khoảng thời gian được đo:
$$
\Delta t_1 = t_{1b} - t_{1a}, \quad \Delta t_2 = t_{2b} - t_{2a}.
$$

Từ phương trình chuyển động $ y(t) = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2 $, giải cho thời gian $ t $, ta có:
$$
t = \frac{v_0 \pm \sqrt{v_0^2 - 2g y}}{g}.
$$

- Khi vật đi qua $ y_1 $, ta có hai thời điểm:
$$
t_{1a} = \frac{v_0 - \sqrt{v_0^2 - 2g y_1}}{g}, \quad t_{1b} = \frac{v_0 + \sqrt{v_0^2 - 2g y_1}}{g}.
$$
Do đó:
$$
\Delta t_1 = t_{1b} - t_{1a} = \frac{2 \sqrt{v_0^2 - 2g y_1}}{g}.
$$

- Tương tự, khi vật đi qua $ y_2 $:
$$
\Delta t_2 = t_{2b} - t_{2a} = \frac{2 \sqrt{v_0^2 - 2g y_2}}{g}.
$$

Bình phương các khoảng thời gian:
$$
\Delta t_1^2 = \frac{4 (v_0^2 - 2g y_1)}{g^2}, \quad \Delta t_2^2 = \frac{4 (v_0^2 - 2g y_2)}{g^2}.
$$

Hiệu của chúng:
$$
\Delta t_1^2 - \Delta t_2^2 = \frac{4}{g^2} \left[ (v_0^2 - 2g y_1) - (v_0^2 - 2g y_2) \right] = \frac{4}{g^2} \cdot 2g h.
$$

Rút gọn:
$$
\Delta t_1^2 - \Delta t_2^2 = \frac{8gh}{g^2}.
$$

Suy ra:
$$
g = \frac{8h}{\Delta t_1^2 - \Delta t_2^2}.
$$

---

**b) Tính $ g $:**

Dữ kiện:
$$
\Delta t_1 = 0,6554 \, \text{s}, \quad \Delta t_2 = 0,1483 \, \text{s}, \quad h = 0,5 \, \text{m}.
$$

Tính $ \Delta t_1^2 $ và $ \Delta t_2^2 $:
$$
\Delta t_1^2 = (0,6554)^2 = 0,4296 \, \text{s}^2, \quad \Delta t_2^2 = (0,1483)^2 = 0,0220 \, \text{s}^2.
$$

Hiệu:
$$
\Delta t_1^2 - \Delta t_2^2 = 0,4296 - 0,0220 = 0,4076 \, \text{s}^2.
$$

Tính $ g $:
$$
g = \frac{8h}{\Delta t_1^2 - \Delta t_2^2} = \frac{8 \cdot 0,5}{0,4076} \approx 9,81 \, \text{m/s}^2.
$$

---

### **2. Với $ v_0 = 10 \, \text{m/s} $:**

**a) Độ cao cực đại của vật:**

Tại độ cao cực đại $ v = 0 $. Từ công thức:
$$
v^2 = v_0^2 - 2g h_{\text{max}},
$$
suy ra:
$$
h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g}.
$$

Thay số:
$$
h_{\text{max}} = \frac{10^2}{2 \cdot 9,81} \approx 5,1 \, \text{m}.
$$

---

**b) Thời gian giữa 2 lần vật đi qua điểm chính giữa $ h_{\text{max}} $:**

Điểm chính giữa của $ h_{\text{max}} $ là $ \frac{h_{\text{max}}}{2} $. Từ phương trình:
$$
y = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2,
$$
khi $ y = \frac{h_{\text{max}}}{2} $, ta có:
$$
\frac{h_{\text{max}}}{2} = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2.
$$

Thay $ h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} $:
$$
\frac{v_0^2}{4g} = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2.
$$

Nhân cả hai vế với $ 4g $:
$$
v_0^2 = 4g v_0 t - 2g^2 t^2.
$$

Chia hai vế cho $ 2g $:
$$
\frac{v_0^2}{2g} = 2v_0 t - g t^2.
$$

Giải phương trình bậc hai cho $ t $, tìm hai nghiệm $ t_1 $ và $ t_2 $, khoảng thời gian giữa hai lần đi qua là $ \Delta t = t_2 - t_1 $. Sau khi tính toán:

$$
\Delta t \approx \frac{v_0}{g} \approx \frac{10}{9,81} \approx 1,02 \, \text{s}.
$$

Để đo gia tốc g, người ta tiến hành thí nghiệm: Từ mặt đất, ném thẳng đứng 1 vật lên cao với v0, bỏ qua sức cản không khí. 1. Để đo gia tốc g, người ta đặt máy đo quang học tại 2 vị trí y1, y2 có khoản...