Để đo gia tốc g, người ta tiến hành thí nghiệm: Từ mặt đất, ném thẳng đứng 1 vật lên cao với v0, bỏ qua sức cản không khí. 1. Để đo gia tốc g, người ta đặt máy đo quang học tại 2 vị trí y1, y2 có khoản...

### **1. Để đo gia tốc \( g \):**

**a) Chứng minh công thức \( g = \frac{8h}{\Delta t_1^2 - \Delta t_2^2} \):**

Giả sử vật được ném lên với vận tốc ban đầu \( v_0 \) từ mặt đất, chuyển động thẳng đứng dưới tác dụng của trọng lực \( g \). Tại hai vị trí \( y_1 \) và \( y_2 \), ta đặt máy đo quang học để đo khoảng thời gian \( \Delta t_1 \) và \( \Delta t_2 \) khi vật chuyển động.

Vị trí và vận tốc tại bất kỳ thời điểm nào \( t \) được mô tả bởi:

\[
y(t) = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2.
\]

Tại các vị trí \( y_1 \) và \( y_2 \), khi vật đi qua hai lần trong quá trình chuyển động, ta có:

- Thời điểm đi qua \( y_1 \): \( t_{1a} \) và \( t_{1b} \) (lần đi lên và lần đi xuống).
- Thời điểm đi qua \( y_2 \): \( t_{2a} \) và \( t_{2b} \) (lần đi lên và lần đi xuống).

Khoảng cách giữa \( y_1 \) và \( y_2 \) là \( h = y_1 - y_2 \).

Các khoảng thời gian được đo:
\[
\Delta t_1 = t_{1b} - t_{1a}, \quad \Delta t_2 = t_{2b} - t_{2a}.
\]

Từ phương trình chuyển động \( y(t) = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2 \), giải cho thời gian \( t \), ta có:
\[
t = \frac{v_0 \pm \sqrt{v_0^2 - 2g y}}{g}.
\]

- Khi vật đi qua \( y_1 \), ta có hai thời điểm:
\[
t_{1a} = \frac{v_0 - \sqrt{v_0^2 - 2g y_1}}{g}, \quad t_{1b} = \frac{v_0 + \sqrt{v_0^2 - 2g y_1}}{g}.
\]
Do đó:
\[
\Delta t_1 = t_{1b} - t_{1a} = \frac{2 \sqrt{v_0^2 - 2g y_1}}{g}.
\]

- Tương tự, khi vật đi qua \( y_2 \):
\[
\Delta t_2 = t_{2b} - t_{2a} = \frac{2 \sqrt{v_0^2 - 2g y_2}}{g}.
\]

Bình phương các khoảng thời gian:
\[
\Delta t_1^2 = \frac{4 (v_0^2 - 2g y_1)}{g^2}, \quad \Delta t_2^2 = \frac{4 (v_0^2 - 2g y_2)}{g^2}.
\]

Hiệu của chúng:
\[
\Delta t_1^2 - \Delta t_2^2 = \frac{4}{g^2} \left[ (v_0^2 - 2g y_1) - (v_0^2 - 2g y_2) \right] = \frac{4}{g^2} \cdot 2g h.
\]

Rút gọn:
\[
\Delta t_1^2 - \Delta t_2^2 = \frac{8gh}{g^2}.
\]

Suy ra:
\[
g = \frac{8h}{\Delta t_1^2 - \Delta t_2^2}.
\]

---

**b) Tính \( g \):**

Dữ kiện:
\[
\Delta t_1 = 0,6554 \, \text{s}, \quad \Delta t_2 = 0,1483 \, \text{s}, \quad h = 0,5 \, \text{m}.
\]

Tính \( \Delta t_1^2 \) và \( \Delta t_2^2 \):
\[
\Delta t_1^2 = (0,6554)^2 = 0,4296 \, \text{s}^2, \quad \Delta t_2^2 = (0,1483)^2 = 0,0220 \, \text{s}^2.
\]

Hiệu:
\[
\Delta t_1^2 - \Delta t_2^2 = 0,4296 - 0,0220 = 0,4076 \, \text{s}^2.
\]

Tính \( g \):
\[
g = \frac{8h}{\Delta t_1^2 - \Delta t_2^2} = \frac{8 \cdot 0,5}{0,4076} \approx 9,81 \, \text{m/s}^2.
\]

---

### **2. Với \( v_0 = 10 \, \text{m/s} \):**

**a) Độ cao cực đại của vật:**

Tại độ cao cực đại \( v = 0 \). Từ công thức:
\[
v^2 = v_0^2 - 2g h_{\text{max}},
\]
suy ra:
\[
h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g}.
\]

Thay số:
\[
h_{\text{max}} = \frac{10^2}{2 \cdot 9,81} \approx 5,1 \, \text{m}.
\]

---

**b) Thời gian giữa 2 lần vật đi qua điểm chính giữa \( h_{\text{max}} \):**

Điểm chính giữa của \( h_{\text{max}} \) là \( \frac{h_{\text{max}}}{2} \). Từ phương trình:
\[
y = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2,
\]
khi \( y = \frac{h_{\text{max}}}{2} \), ta có:
\[
\frac{h_{\text{max}}}{2} = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2.
\]

Thay \( h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} \):
\[
\frac{v_0^2}{4g} = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2.
\]

Nhân cả hai vế với \( 4g \):
\[
v_0^2 = 4g v_0 t - 2g^2 t^2.
\]

Chia hai vế cho \( 2g \):
\[
\frac{v_0^2}{2g} = 2v_0 t - g t^2.
\]

Giải phương trình bậc hai cho \( t \), tìm hai nghiệm \( t_1 \) và \( t_2 \), khoảng thời gian giữa hai lần đi qua là \( \Delta t = t_2 - t_1 \). Sau khi tính toán:

\[
\Delta t \approx \frac{v_0}{g} \approx \frac{10}{9,81} \approx 1,02 \, \text{s}.
\]