tìm miền giá trị của các hàm số sau

a) $y = |x|$ - Biểu thức $|x|$ luôn luôn không âm, do đó $y \geq 0$. - Miền giá trị của hàm số là $[0, +\infty)$. b) $y = x^2 + 1$ - Biểu thức $x^2$ luôn luôn không âm, do đó $x^2 \geq 0$. - Do đó, $x^2 + 1 \geq 1$, suy ra $y \geq 1$. - Miền giá trị của hàm số là $[1, +\infty)$. c) $y = -x^2 + 1$ - Biểu thức $x^2$ luôn luôn không âm, do đó $x^2 \geq 0$. - Do đó, $-x^2 \leq 0$, suy ra $-x^2 + 1 \leq 1$, tức là $y \leq 1$. - Miền giá trị của hàm số là $(-\infty, 1]$. d) $y = x^2 - 4x + 1$ - Ta viết lại biểu thức dưới dạng hoàn chỉnh: $y = (x - 2)^2 - 3$. - Biểu thức $(x - 2)^2$ luôn luôn không âm, do đó $(x - 2)^2 \geq 0$. - Do đó, $(x - 2)^2 - 3 \geq -3$, suy ra $y \geq -3$. - Miền giá trị của hàm số là $[-3, +\infty)$. e) $y = \sqrt{3x^2 + 1}$ - Biểu thức $3x^2 + 1$ luôn luôn dương vì $3x^2 \geq 0$ và $1 > 0$. - Do đó, $\sqrt{3x^2 + 1} \geq \sqrt{1} = 1$, suy ra $y \geq 1$. - Miền giá trị của hàm số là $[1, +\infty)$. f) $y = \frac{1}{x}$ - Biểu thức $\frac{1}{x}$ xác định khi $x \neq 0$. - Khi $x$ tiến đến vô cùng hoặc âm vô cùng, $\frac{1}{x}$ tiến đến 0 nhưng không bao giờ bằng 0. - Do đó, miền giá trị của hàm số là $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. g) $y = \frac{1}{x^2 + 1}$ - Biểu thức $x^2 + 1$ luôn luôn dương vì $x^2 \geq 0$ và $1 > 0$. - Do đó, $\frac{1}{x^2 + 1}$ luôn luôn dương và nhỏ hơn hoặc bằng 1 (khi $x = 0$ thì $\frac{1}{x^2 + 1} = 1$). - Miền giá trị của hàm số là $(0, 1]$. h) $y = \frac{x}{x^2 + 1}$ - Biểu thức $x^2 + 1$ luôn luôn dương vì $x^2 \geq 0$ và $1 > 0$. - Xét giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến vô cùng hoặc âm vô cùng: - Khi $x \to +\infty$, $\frac{x}{x^2 + 1} \to 0$. - Khi $x \to -\infty$, $\frac{x}{x^2 + 1} \to 0$. - Xét giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số: - Đạo hàm của $y$: $y' = \frac{(x^2 + 1) - x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$. - Đặt $y' = 0$, ta có $1 - x^2 = 0$, suy ra $x = \pm 1$. - Khi $x = 1$, $y = \frac{1}{2}$. - Khi $x = -1$, $y = -\frac{1}{2}$. - Do đó, miền giá trị của hàm số là $\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$. Câu 7. Để xét sự biến thiên của các hàm số trên khoảng, ta sẽ áp dụng các phương pháp và kiến thức đã học trong chương trình lớp 10. Dưới đây là các bước cơ bản để thực hiện: 1. Tìm tập xác định của hàm số: Xác định miền giá trị của biến độc lập \(x\) sao cho hàm số có nghĩa. 2. Tính đạo hàm của hàm số: Tìm đạo hàm \(f'(x)\) của hàm số \(f(x)\). 3. Xét dấu của đạo hàm: Xác định các điểm mà đạo hàm bằng không hoặc không xác định, sau đó lập bảng xét dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định. 4. Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến: Dựa vào dấu của đạo hàm, xác định các khoảng mà hàm số đồng biến (nơi đạo hàm dương) và nghịch biến (nơi đạo hàm âm). Dưới đây là ví dụ cụ thể về cách xét sự biến thiên của hàm số \(f(x) = x^3 - 3x + 2\): 1. Tập xác định: Hàm số \(f(x) = x^3 - 3x + 2\) xác định trên toàn bộ tập số thực \(\mathbb{R}\). 2. Tính đạo hàm: \[ f'(x) = 3x^2 - 3 \] 3. Xét dấu của đạo hàm: - Giải phương trình \(f'(x) = 0\): \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ (x - 1)(x + 1) = 0 \] \[ x = 1 \text{ hoặc } x = -1 \] - Lập bảng xét dấu của đạo hàm \(f'(x)\): \[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -1) & (-1, 1) & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & - & + \\ \end{array} \] 4. Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến: - Hàm số \(f(x)\) đồng biến trên các khoảng \((-∞, -1)\) và \((1, +∞)\). - Hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên khoảng \((-1, 1)\). Vậy, hàm số \(f(x) = x^3 - 3x + 2\) đồng biến trên các khoảng \((-∞, -1)\) và \((1, +∞)\), nghịch biến trên khoảng \((-1, 1)\).