Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD với A(1; 1), B(-1; 1), C(-1; -1), D(1;-1). Phép quay ngược chiều 45° tâm 0 biến các điểm A, B, C, D lần lượt thành các điểm M, N, P, Q. Tính diện tích tứ giác MNPQ.

Question

huyennguyen3484 · Accepted Answer

Gọi $\displaystyle H$ là hình chiếu của $\displaystyle A$ trên $\displaystyle Oy$
Ta có $\displaystyle A( 1;1)$ nên suy ra $\displaystyle AH=OH=1$
Do đó $\displaystyle \Delta OAH$ vuông cân tại $\displaystyle H$ nên $\displaystyle \widehat{AOH} =45^{o}$
Xét $\displaystyle \Delta OAH$ vuông tại $\displaystyle H$ có:
$\displaystyle OA^{2} =OH^{2} +AH^{2}$ (Định lý Py-ta-go)
Suy ra: $\displaystyle OA=\sqrt{OH^{2} +AH^{2}} =\sqrt{1^{2} +1^{2}} =\sqrt{2}$
Tương tự ta có $\displaystyle OA=OB=OC=OD=\sqrt{2}$
Mặt khác, do $\displaystyle ABCD$ là hình vuông nên hai đường chéo $\displaystyle AC$ và $\displaystyle BD$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, do đó $\displaystyle O$ là tâm hình vuông.
Do đó, phép quay ngược chiều $\displaystyle 45^{o}$ tâm $\displaystyle O$ biến điểm $\displaystyle A$ thành các điểm $\displaystyle A'$ nằm trên tia $\displaystyle Oy$ sao cho $\displaystyle OA'=OA=\sqrt{2} \Rightarrow A'\left( 0;\sqrt{2}\right)$
Tương tự ta chứng minh được phép quay ngược chiều $\displaystyle 45^{o}$ tâm $\displaystyle O$ biến các điểm $\displaystyle A,B,C,D$ lần lượt thành các điểm $\displaystyle A'\left( 0;\sqrt{2}\right) ,\ B'\left( -\sqrt{2} ;0\right) ,\ C'\left( 0;-\sqrt{2}\right) ,\ D'\left(\sqrt{2} ;0\right)$
Suy ra tứ giác $\displaystyle A'B'C'D'$ là hình vuông với hai đường chéo $\displaystyle A'C'$ và $\displaystyle B'D'$, nên diện tích tứ giác $\displaystyle A'B'C'D'$ là:
$\displaystyle \frac{1}{2} .A'C'.B'D'=\frac{1}{2} .2\sqrt{2} .2\sqrt{2} =4$ (đơn vị diện tích)

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện phép quay các đỉnh của hình vuông ABCD ngược chiều kim đồng hồ 45° tâm O(0,0) và sau đó tính diện tích của tứ giác MNPQ.

Bước 1: Xác định tọa độ của các điểm M, N, P, Q sau phép quay.

Phép quay ngược chiều kim đồng hồ 45° tâm O(0,0) biến điểm (x, y) thành điểm mới có tọa độ:
$$ 
(x&#x27;, y&#x27;) = \left( x \cos 45^\circ - y \sin 45^\circ, x \sin 45^\circ + y \cos 45^\circ \right)
$$
với $\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Áp dụng vào các điểm A, B, C, D:

- Điểm A(1, 1):
$$ 
M = \left( 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}, 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = (0, \sqrt{2})
$$

- Điểm B(-1, 1):
$$ 
N = \left( -1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = (-\sqrt{2}, 0)
$$

- Điểm C(-1, -1):
$$ 
P = \left( -1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = (0, -\sqrt{2})
$$

- Điểm D(1, -1):
$$ 
Q = \left( 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}, 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = (\sqrt{2}, 0)
$$

Bước 2: Tính diện tích tứ giác MNPQ.

Tứ giác MNPQ là hình vuông với các đỉnh M(0, \sqrt{2}), N(-\sqrt{2}, 0), P(0, -\sqrt{2}), Q(\sqrt{2}, 0). Độ dài cạnh của hình vuông này là khoảng cách giữa hai điểm đối xứng qua gốc tọa độ, ví dụ từ M(0, \sqrt{2}) đến Q(\sqrt{2}, 0):

$$ 
\text{Độ dài cạnh} = \sqrt{(0 - \sqrt{2})^2 + (\sqrt{2} - 0)^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2
$$

Diện tích của hình vuông MNPQ là:
$$ 
\text{Diện tích} = \text{cạnh}^2 = 2^2 = 4
$$

Vậy diện tích của tứ giác MNPQ là 4.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD với A(1; 1), B(-1; 1), C(-1; -1), D(1;-1). Phép quay ngược chiều 45° tâm 0 biến các điểm A, B, C, D lần lượt thành các điểm M, N, P, Q. Tính diện tích tứ...